1 . 如图，在三棱柱中，平面是棱的中点，在棱上，且.

   

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积等于1，求二面角的余弦值.

2 . 如图（1）在三角形PCD中，AB为其中位线，且，若沿AB将三角形PAB折起，使，构成四棱锥，如图（2）E和F分别是棱和的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的二面角的余弦值．

3 . 如图，在四棱锥中，为的中点，平面.

(1)求证：；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.
（i）求证：平面；
（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

4 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值．

5 . 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，且平面平面．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值．

6 . 如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面.

(1)求证：；
(2)若是等边三角形，，平面平面，四棱锥的体积为，试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.

7 . 已知多面体中，，且，，.

(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值.

8 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，面，点是的中点．

(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的余弦值．

9 . 如图，ABCD为圆柱底面的内接四边形，AC为底面圆的直径，PC为圆柱的母线，且．

   

(1)求证：；
(2)若，点F在线段PA上，且，求二面角的余弦值．

10 . 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.
(1)求的方程；
(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.