1 . 已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．

2 . 已知函数，，．
(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

3 . 已知函数，若在点处的切线方程为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的极值．

4 . 已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求的极值．

5 . 已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．

6 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围.

7 . 已知条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值.请在上面两个条件中选择一个合适的条件，将下面的题目补充完整（条件只填写序号），并解答本题.
题目：已知函数存在极值，并且__________.
(1)求的解析式；
(2)当时，求函数的最值.

8 . 设，函数．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)在（1）的结论下，若，求证：．

9 . 已知函数．
(1)若是的极值点，求a的值；
(2)若，证明：．

10 . 已知函数，（其中为自然对数的底数）．
(1)若，求函数在区间上的最大值．
(2)若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围．
(3)若对任意的，，不等式均成立，求实数的取值范围．