1 . 椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．

2 . 设分别是椭圆的左、右焦点．
(1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标；
(2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

3 . 已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．

4 . 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点，求证：.

5 . 已知椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，，点是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.求证：为等腰三角形.

6 . 已知椭圆的离心率为，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F₁PF₂面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l₁，l₂分别交椭圆于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．