1 . 某市教育局举办的校园足球比赛，其中小学生足球淘汰赛阶段的比赛规则如下：①常规时间分上、下半场，每个半场各30分钟，在常规时间内进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；②如果在常规时间内两队战平，则双方各派3名队员进行3轮点球决战，进球多的一方获得比赛的胜利并进入下一轮；③如果点球大战依然战平，则将进行抽签决定哪支球队进入下一轮，现有甲、乙两队进行淘汰赛阶段的比赛．
(1)假设在常规时间内甲队获胜的概率为，战平的概率为；在点球大战中甲队获胜以及战平的概率均为；在抽签环节，两队进入下一轮机会均等．已知在甲队进入下一轮的条件下，求他们是通过抽签进入下一轮的概率；
(2)点球大战中，当领先的一方提前获得比赛的胜利，则剩下的队员不再出场进行点球比赛（如甲方3∶1领先时，乙队的最后一名队员不必再出场比赛）．假设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，点球大战每一轮由甲队先踢．
（ⅰ）记两队点球决战一共出场的球员人数为，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）求甲队在点球大战中获胜的概率．

2 . 中国跳水队素有“梦之队”称号，在刚刚结束的2024巴黎奥运会上，中国跳水队取得了优异的成绩.其中单人跳水比赛的计分规则为：运动员做完一套入水动作后，由7位专业裁判进行打分，从打出的分数中按照高低去掉前两个和后两个，剩余3个分数的总和再乘以这套动作的难度系数即为该运动员的最终得分.若某位运动员在一轮比赛中入水动作的难度系数为3.2，7位裁判给他打出的分数分别为9.5、9.5、9、8、9、9.5、8.5，则这7个数据的方差为______，该运动员本轮比赛的得分为______．

3 . “割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中.
(1)若的半径为1，求的外切正边形的面积；
(2)证明：；
(3)设，证明：.

4 . 某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为.
(1)求的分布列与期望；
(2)已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求的最小值.

5 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.
(1)当时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；
(2)当时，求数列的通项公式；
(3)是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.

6 . 函数定义域为D，若对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数．根据上述定义，已知函数，那么函数在上___________（填“是”或“不是”）2阶无穷递降函数；若函数在上是3阶无穷递降函数，则a的最大值为___________．

7 . 对于函数，，如果存在实数a，b，使得函数，那么我们称为，的“HC函数”．
(1)已知，，试判断是否为，的“HC函数”．若是，请求出实数a，b的值；若不是，请说明理由；
(2)已知，，为，的“HC函数”且，．若关于x的方程有解，求实数m的取值范围；
(3)在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a，b，都有，当且仅当时，式中的等号成立”．我们将这个结论称为“基本不等式”．请利用“基本不等式”，解决下面的问题：已知，，为，的“HC函数”（其中），的定义域，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值．

8 . 已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质：
①；
②；
③．
(1)利用以上性质证明：；
(2)设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明：
①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；

②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为．

9 . 一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．

10 . 已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（       ）

A．取值范围是

B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6

C．当直线l斜率时，AB平分

D．最大值为