1 . 已知a>1，函数.
（1）判断函数f(x)奇偶性，并加以证明；
（2）求证：函数f(x)是增函数.

2 . 已知实数满足；
（1）求证：；
（2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，请加以证明；
（3）从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，请加以证明.

3 . （1）设，请运用任意角的三角函数定义证明：.
（2）设，求证：.

4 . 证明：（1）求证：
（2）在中，，求证：

5 . 证明：（1）求证：；
（2）求证：;

6 . 在数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
（1）已知数列中，，，求数列的通项公式；
（2）在（1）的结论下，试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论；
（3）已知数列为等差数列，且0，，求证：为“等比源数列”．

7 . 设是公差为的等差数列，是公比为（）的等比数列，记.
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）若，，数列前2项和为14，前8项和为857，求数列通项公式；
（3）在（2）的条件下，问：数列中是否存在四项、、、成等差数列？请证明你的结论.

8 . 已知集合
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）设，求证：；并求满足不等式的的值.

9 . 已知数列满足，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，试判断是否存在常数A、B、C，使得对一切都有成立？若存在，求出A、B、C的值；若不存在，请说明理由；
（3）设数列的前n项和为，求证：．

10 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①函数在区间内是单调函数；②当定义域为时，的值域也是，则称是该函数的和谐区间.
（1）求证：函数不存在和谐区间；
（2）已知：函数有和谐区间，当变化时，求出的最大值；
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”，试再举一例有和谐区间的函数，并写出它的个和谐区间（不需要证明，但是不能用本题已经讨论过的以及形如的函数）.