1 . 克罗狄斯·托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理.定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形
中，
，
，
，
，则
的最大值为_________________ .
中，，，，，则的最大值为
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2 . 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数
在
上的导函数为
，在上的导函数为
，若在上
恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知
在
上为“凸函数”，则实数m的取值范围是____________ ．
在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是
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解题方法
3 . 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马
中，侧棱
底面；且
，在
的中点中选择一个记为点
，使得四面体
为鳖臑．的位置，并证明四面体为鳖臑；
(2)若底面是边长为1的正方形，求平面
与平面
夹角的余弦值．
中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．
的位置，并证明四面体为鳖臑；(2)若底面
是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
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4 . 如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁的表面积为
，半球的半径为
时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则
的取值范围是______ ．（
取3）
，半球的半径为时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积（厚度忽略不计）的3倍，则的取值范围是取3）
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解题方法
5 . 对定义在非空集合
上的函数，以及函数
，俄国数学家切比雪夫将函数
的最大值称为函数与
的“偏差”.若
，
，则函数与的“偏差”为__________ .
上的函数，以及函数，俄国数学家切比雪夫将函数的最大值称为函数与的“偏差”.若，，则函数与的“偏差”为
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6 . “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（ ）
A．第n行的第 个位置的数是 |
B． |
| C．第2024行的第1012个数最大 |
D．第28行中第5个数与第6个数的比值为 |
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7 . 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.对于方程
，如果用二分法求近似解，给定初始区间
，若精确度
，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值
，在横坐标为的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是
，用代替重复上面的过程得到
，一直继续下去得到，，…，
.它们越来越逼近函数的零点r，当
时，或
即为方程的近似解.现给定初始值
，利用牛顿法求的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（ ）
，如果用二分法求近似解，给定初始区间，若精确度，则至少需要经过4次迭代才能求出其近似解.牛顿在《流数法》一书中用“作切线”的方法求高次方程的近似解.从函数的观点看，给定一个初始值，在横坐标为的点处作函数的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到，一直继续下去得到，，…，.它们越来越逼近函数的零点r，当时，或即为方程的近似解.现给定初始值，利用牛顿法求的近似解，至少需要几次迭代也能达到同样的精确度（ ）| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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解题方法
8 . 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形
.带槽杆
长为
，点
，
间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有
.点M在线段
的延长线上，且
.
(2)过点的直线
与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为
、
，证明：
为定值.
.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且.
(2)过点
的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值.
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解题方法
9 . 欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△
的外心、重心、垂心．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)求证：
．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
如图，点O、G、H分别为△
的外心、重心、垂心． (1)求证：
；(2)求证：
；(3)求证：
．注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
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名校
10 . 如图，半圆
的直径为
，
为直径延长线上的点，
，
为半圆上任意一点，以
为一边作等边三角形．设
．
时，求四边形
的周长；
(2)克罗狄斯
托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段
的长取最大值时，求
．
(3)当
为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．
时，求四边形的周长；(2)克罗狄斯
托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．(3)当
为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
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