1 . 在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有
(1)证明：在上单调递增；
(2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围；
(3)若，求证：对任意，都有．

2 . 设非零向量，，并定义
(1)若，求；
(2)写出之间的等量关系，并证明；
(3)若，求证：集合是有限集.

3 . 如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质．
(1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由；
(2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质；
(3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质．

4 . 已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．
(1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）；
(2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；
(3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由，
①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；
②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．

5 . 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.

图

图

图

(1)若平行四边形平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；
(2)在图中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.

6 . 已知函数（）.
(1)指出的单调区间；（不要求证明）
(2)若，，，满足，，，且（，，），求证：；
(3)证明：当时，不等式（）对任意恒成立.

7 . 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．
（1）已知函数．求证：为曲线的“上夹线”；
（2）观察下图：

根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

8 . 已知与都是定义在上的函数，函数图像上任意两点，记表示此两点连线的斜率.当时，都有，则称是的一个“T函数”．
(1)判断是否为函数的一个函数，并说明理由；
(2)设的导数为，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)函数的导函数存在记为，即导函数存在记为，当都有，函数是否存在T函数?若存在，请求出的所有函数；若不存在，请说明理由．

9 . 已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，，求的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

10 . 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求，；
(2)证明；
(3)已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．