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| 共计 11 道试题
1 . 欧拉(1707-1783),他是数学史上最多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的取作就得到了欧拉恒等式,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数,圆周率,两个单位——虚数单位和自然数单位,以及被称为人类伟大发现之一的,数学家评价它是“上帝创造的公式”,请你根据欧拉公式:,解决以下问题:
(1)将复数表示成为虚数单位)的形式;
(2)求的最大值;
(3)若,则,这里,称的一个次单位根,简称单位根.类比立方差公式,我们可以获得,复数,求的值.
2024-05-28更新 | 240次组卷 | 1卷引用:黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高三下学期得分训练数学试卷(二)
2 . 阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,截角四面体是阿基米德多面体其中的一种.如图所示,将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体,则下列说法中正确的是(       

A.点E到平面ABC的距离为
B.直线DE与平面ABC所成角的正切值为2
C.该截角四面体的表面积为
D.该截角四面体存在内切球
2024-05-26更新 | 580次组卷 | 2卷引用:2024届东北三省四市教研联合体高考模拟(二)数学试题
3 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积,体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中,杨辉将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图,“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和,设各层球数构成一个数列

(1)求数列的通项公式;
(2)证明:当时,
(3)若数列满足,对于,证明:
2024-05-12更新 | 585次组卷 | 1卷引用:2024届东北三省四市教研联合体高考模拟(二)数学试题
4 . 数学中有许多形状优美,寓意独特的几何体,“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分,且其体积小于正四面体外接球体积.如图,在勒洛四面体中,正四面体的棱长为,则下列结论正确的是(       
   
A.勒洛四面体最大的截面是正三角形
B.若是勒洛四面体表面上的任意两点,则的最大值可能大于4
C.勒洛四面体的体积是
D.勒洛四面体内切球的半径是
填空题-单空题 | 较难(0.4) |
名校
5 . 哈九中第二课堂兴趣课学生进行黑白迭代的游戏,规则为:点击方块,方块本身及其前、后、左、右、上、下相邻的块进行黑白状态反转,当所有块都为白色时则视为过关,用方块所在行、列、层描述位置,从下至上依次为第1-4层,如所圈画方块坐标为,如图所示的某关卡由四层4×4方块构成,通关方法为依次点击_________.
2023-05-14更新 | 210次组卷 | 1卷引用:黑龙江省哈尔滨市第九中学2023届高三第三次模拟考试数学试题
6 . 半正多面体亦称“阿基米德体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图,将正四面体每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,得到一个有八个面的半正多面体.点是该多面体的三个顶点,且棱长,则下列结论正确的是(       
A.该多面体的表面积为
B.该多面体的体积为
C.该多面体的外接球的表面积为
D.若点是该多面体表面上的动点,满足时,点的轨迹长度为
2023-04-08更新 | 1081次组卷 | 4卷引用:黑龙江省哈尔滨市第九中学2023届高三第三次模拟考试数学试题
7 . 我国南北朝时期的数学家祖冲之(公元429年-500年)计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久,德国数学家鲁道夫(公元1540年-1610年)用一生精力计算出了圆周率的35位小数,随着科技的进步,一些常数的精确度不断被刷新.例如:我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值,为了实际应用,本题中取的值为-0.57.哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库,内部建造了一条智能运货总干线,其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为,其在处的切线为,现计划再建一条总干线,其中m为待定的常数.
注明:本题中计算的最终结果均用数字表示.
(1)求出的直线方程,并且证明:在直角坐标系中,智能运货总干线上的点不在直线的上方;
(2)在直角坐标系中,设直线,计划将仓库中直线之间的部分设为隔离区,两条运货总干线分别在各自的区域内,即曲线上的点不能越过直线,求实数m的取值范围.
8 . 第24届冬季奥林匹克运动会,将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家.根据规划,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线(如图),且两切线斜率之积等于,则椭圆的离心率为(       
A.B.C.D.
2021-04-14更新 | 4440次组卷 | 24卷引用:黑龙江哈尔滨第一二二中学2021-2022学年度寒假检验性考试数学试题
9 . 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角ABC所对的边分别为abc,则的面积,根据此公式,若,且,则的面积为(       
A.B.
C.D.
2020-07-07更新 | 2883次组卷 | 28卷引用:黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(二)数学(理科)试题
填空题-双空题 | 较难(0.4) |
名校
10 . 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图,在正六棱柱的三个顶点处分别用平面,平面,平面截掉三个相等的三棱锥,平面,平面,平面交于点,就形成了蜂巢的结构,如下图(4)所示,

瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的,英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为,即.以下三个结论①;② ;③四点共面,正确命题的个数为______个;若,则此蜂巢的表面积为_______.
共计 平均难度:一般