1 . 定义：若函数
与
的图象在
上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数
，
，
.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当
时，
（i）求证：函数与在
上存在“单交点”
；
（ⅱ）对于（i）中的正数
，证明：
.
与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.(1)讨论函数
的单调性；(2)当
时，（i）求证：函数
与在上存在“单交点”；（ⅱ）对于（i）中的正数
，证明：.
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名校
解题方法
2 . 在无穷数列
中，若对任意的
，都存在
，使得
，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列
中，若对任意的，都存在，使得
，则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列，
，
，求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列
为m阶等差数列，求证：
为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列，又是
阶等差数列，证明：是等比数列．
中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．(1)若数列
为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和；(2)若数列
为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列；(3)若数列
既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列．
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2024-05-31更新
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367次组卷
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3卷引用：贵州省毕节市2024届高三第三次诊断性考试数学试题
3 . 已知函数
，其中
．
(1)若
，证明：
时，
；
(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数
的值；
(3)已知数列的通项公式为
，求证：
．
，其中．(1)若
，证明：时，；(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数的值；(3)已知数列
的通项公式为，求证：．
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2024-05-14更新
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273次组卷
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3卷引用：安徽省蚌埠市2024届高三第四次教学质量检查考试数学试题
名校
4 . 若函数
满足：对任意的实数
，有
恒成立，则称函数为“
增函数”.
(1)求证：函数
不是“增函数”；
(2)若函数
是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设
，若曲线
在
处的切线方程为
，求的值，并证明函数是“增函数”.
满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数为“增函数”.(1)求证：函数
不是“增函数”；(2)若函数
是“增函数”，求实数的取值范围；(3)设
，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”.
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名校
解题方法
5 . 已知函数
有两个不同的零点
，且
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：
；
(3)比较
与
及
的大小，并证明．
有两个不同的零点，且．(1)求实数
的取值范围；(2)求证：
；(3)比较
与及的大小，并证明．
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解题方法
6 . 如图所示数阵，第
行共有个数，第m行的第1个数为
，第2个数为
，第
个数为
.规定：
.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为
是否存在正整数k，使得对任意正整数n，
恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
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2024-05-14更新
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1008次组卷
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2卷引用：江苏省苏锡常镇四市2024届高三教学情况调研（二）数学试题
7 . 已知动圆
过定点
且与直线
相切，记圆心的轨迹为曲线
．
(1)已知
、
两点的坐标分别为
、
，直线
、
的斜率分别为
、
，证明：
；
(2)若点
、
是轨迹上的两个动点且
，设线段
的中点为
，圆与动点的轨迹
交于不同于
的三点
、
、
，求证：
的重心的横坐标为定值．
过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知
、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点
、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．
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8 . 已知函数
，曲线
在点处的切线为
，记
．
(1)当
时，求切线
的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明
；
(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
，曲线在点处的切线为，记．(1)当
时，求切线的方程；(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明；(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
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名校
解题方法
9 . 已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为
，左、右顶点分别为
，
.
(1)求的方程；
(2)过右焦点
的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线
与
交于点．
（i）证明：点在定直线上：
（ii）若直线
与
交于点，求证：
．
，左、右顶点分别为，.(1)求
的方程；(2)过右焦点
的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点
在定直线上：（ii）若直线
与交于点，求证：．
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2024-04-17更新
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1208次组卷
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2卷引用：辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题
名校
解题方法
10 . 若函数在定义域内存在两个不同的数
，同时满足
，且在点
处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
(1)证明：
为“切合函数”；
(2)若
为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）求证：
．
在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”(1)证明：
为“切合函数”；(2)若
为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．（ⅰ）求证：
；（ⅱ）求证：
．
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2024-05-12更新
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200次组卷
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3卷引用：广西壮族自治区贵港市2024届高三下学期模拟预测数学试题
