1 . 设为实数，函数．
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，．

2 . 已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）设 ，且 ，证明： ．

3 . 直线与椭圆交于，两点，已知，，若椭圆的离心率，又经过点，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

4 . 数列满足，（）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前999项和.

5 . 证明：（1）（k≥2，k∈N）；
（2）分别以1，，，……，，……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内.

6 . 已知抛物线：.
（Ⅰ）、是抛物线上不同于顶点的两点，若以为直径的圆经过抛物线的顶点，试证明直线必过定点，并求出该定点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，抛物线在、处的切线相交于点，求面积的取值范围.

7 . 如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形．

（1）求证：．
（2）若，，求二面角的余弦值．

8 . 已知函数.
（Ⅰ）当时，函数在区间上的最小值为-5，求的值；
（Ⅱ）设，且有两个极值点，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.

9 . 已知椭圆的离心率为分别为其左、右焦点，为椭圆上一点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作关于轴对称的两条不同的直线，若直线交椭圆于一点，直线交椭圆于一点，证明：直线过定点.

10 . 已知函数．
（1）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（2）证明：．