1 . 若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”.
(1)若数列为“稳定数列”，求的取值范围；
(2)若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由；
(3)若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，.

2 . 已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”．
(1)设函数．
（i）当时，求在上的最大“Ω点”；
（ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围；
(2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于．

3 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)帕德近似（Pade approximation）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.
（i）当且时，试比较与的大小；
（ii）当时，求证：.

4 . 如图，是边长为的等边三角形，、为线段上两动点，且，过点、分别作、的平行线相交于点，分别交、于点、．现有以下结论：①；②当点与点重合时，；③；④当时，四边形为菱形，其中正确结论的序号为__________.

5 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设．
(1)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
(2)当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值；
(3)当时，设，已知在上有两个零点，证明：．

6 . 已知数列为正项数列，数列满足.
(1)试写出一个数列，使得为递增的等差数列；
(2)若为递增的等差数列，从中任选一项，记为随机变量X.
（i）比较与的大小关系，其中，并说明理由；
（ii）若，证明：.

7 . 已知对任意正整数，均有，我们称为次切比雪夫函数.
(1)若为3次切比雪夫函数，求的值.
(2)已知为次切比雪夫函数，若数列满足.证明：
①数列中的每一项均为的零点；
②当时，.

8 . 已知等比数列的前项和为.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，且当时，或的所有可能的值按从小到大排列组成新的数列.
（i）当时，求的所有项；
（ii）对于任意给定的正整数，求的所有项的和.

9 . 有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示．

(1)当时，求满足要求的绑缎带方法总数；
(2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示方法的概率均为．记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起，
（i）当时，求Y的分布列和期望；
（ii）已知：对任意随机变量（，2，…，m，），有．记满足条件的绑缎带方法总数为，Y的期望为．求（用n和表示）．

10 . 若数列满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
(1)设数列的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.