1 . 根据生物学研究结果，人的头发不超过20万根.试证明：在人口为50万的城市中，至少有两个人的头发根数相同.运用反证法证明上述命题时，第一步应先假设（       ）

A．50万人口中，至多有三个人的头发根数相同

B．50万人口中，头发根数相同的人数大于3人

C．50万人口中，有且只有两人的头发根数相同

D．50万人口中，每个人的头发根数都不相同

2 . 设.
（1）比较和的大小，直接写出结论，不必证明；
当       时，；
当       时，；
当       时，；
（2）比较和的大小，其中e是自然对数的底数，并说明理由.

3 . 已知动圆与圆和圆都外切．
（1）证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，并求其方程；
（2）若直线AB与轨迹C交于A，B两点．，记直线AQ和BQ的斜率分别为，，且，于点P．证明：存在点N，使得为定值．

4 . 已知数列中，，用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明（       ）

A．能被4整除	B．能被4整除
C．能被4整除	D．能被4整除

5 . 英国数学家泰勒发现了公式：，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．
．
其发现过程简单分析如下：
当时，有，
容易看出方程的所有解为：，，，，，
于是方程可写成：，
改写成：．（*）
比较方程（*）与方程中项的系数，即可得
__________．

6 . 如图，在三棱锥中，，，，.

（1）根据图中所给主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）上已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；
（2）求证：.

7 . 相传在古印度圣庙上，有一种被称为汉诺塔的游戏．该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号，，），在杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘，如图所示．游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并仍保持原有顺序叠好．操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上．记将个直径不同的盘子从杆移动到杆所需要的最少次数为·

（1）试写出，，，的值．
（2）由（1）猜想数列的通项公式，并加以证明．

8 . 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

9 . 对于函数，若，则称为数列的“本源函数”
（1）设数列的“本源函数”为，且，，求实数m的值；
（2）已知数列的“本源函数”为，，，在数列中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，求；
（3）记表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为，且，，为数列的前n项的和.证明：对满足的任意实数a，b，数列中有无穷多项属于开区间.

10 . 已知椭圆的右焦点为，短轴长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设S为椭圆的右顶点，过点F的直线与交于M、N两点（均异于S），直线、分别交直线于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点F的直线与交于A、B两点，点C在上，并使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由.