1 . （1）证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
已知：如图，，，，．求证：；

（2）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
如图，四边形是平行四边形.求证：.

2 . （1）求函数的单调区间.
（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.

3 . 基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．

4 . 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.

5 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．

6 . 已知双曲线，是双曲线上一点.
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；
(3)当直线：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值.

7 . 定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列具有“性质1”.已知项数为的数列的所有项的和为，且数列具有“性质1”.
(1)若，且，写出所有可能的的值；
(2)若，证明：“”是“”的充要条件；
(3)若，证明：或.

8 . 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线l：上，圆D与直线l相切，，且线段OE为圆C与圆D的公共弦．
(1)分别求圆C与圆D的标准方程；
(2)若直线m：与圆C、圆D分别交于异于原点的两点Q，P，求证：以线段PQ为直径的圆M恒过定点E．

9 . 设是正整数，
(1)求证：当时，
(2)求证：当时，

10 . 在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为.
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上.