1 . 已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.

2 . 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点O是对角线与的交点，，M是的中点，连接．

   

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）当三棱锥的体积等于时，求的长．

3 . 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：数列的前项和.

4 . 在多面体中，直角梯形与正方形所在平面互相垂直，，，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面.

5 . 如图，在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，.

（1）求证：平面；
（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为.

6 . 如图，直三棱柱的所有棱长相等，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）当是的中点时，求二面角的正弦值.

7 . 如图，在三棱柱中，点，分别是，的中点，已知平面，，．

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.

8 . 如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.

9 . 已知函数满足.
（1）设，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

10 . 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．

（1）求证：平面ABC；
（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．