1 . 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（       ）

A．a的值为0.018	B．估计员工平均服务时长为45小时
C．估计员工服务时长的中位数为48.6小时	D．估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人

2 . 已知函数．
(1)若，求的取值范围．
(2)记已知函数有个不同的零点．
①若，求的取值范围；
②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围．

3 . 在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根．
(1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）．
(2)①若是复数的8次本原单位根，证明：．
②若是复数的次本原单位根，证明：．

4 . 罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立.
(1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根.
(2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解.
(3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点.

5 . 随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.

   

(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数；
(2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率；
(3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差.
参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，.

6 . 如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很“萌”的圆台形台灯，台灯内装有两个相切且球心均在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切，且都与圆台的侧面相切，若上、下两球形灯泡的半径分别为和，则（       ）

A．圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角的大小为

B．圆台形台灯的母线长为

C．圆台形的上、下底面半径之积为

D．圆台形台灯的侧面积大于

7 . 在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是__________立方米．

8 . 某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．

   

(1)求图中的值；
(2)估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数；
(3)若这批鱼有条，估计这批鱼中重量在内的数量．

9 . 在三棱锥中，记，其他棱长均为2，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，球与三棱锥的所有面都相切.若点在底面内的射影位于内部及其边界，则下列说法正确的是（       ）

A．当三棱锥的体积为时，

B．当时，球与球的体积之比为

C．当三棱锥的体积最大时，球的半径为

D．当时，球的表面积为

10 . 如图，过半径为2的圆上两点，的切线相交于点，自点向平行于的直径的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于的直径所在直线于点，．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：．