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解题方法
1 . 对于平面向量,定义“变换”:,
(1)若向量,,求;
(2)求证:;
(3)已知,,且与不平行,,,求证:.
(1)若向量,,求;
(2)求证:;
(3)已知,,且与不平行,,,求证:.
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2024-07-06更新
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236次组卷
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3卷引用:四川省南充市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题
名校
2 . 如图,在长方形中,,,,将沿折起至,使平面平面.(1)证明:平面;
(2)若二面角的平面角的余弦值为,求的长;
(3)设直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,证明:.
(注:本题用空间向量法求解或证明不给分,若需要作辅助线,请在答题卡上作出相应的辅助线.)
(2)若二面角的平面角的余弦值为,求的长;
(3)设直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,证明:.
(注:本题用空间向量法求解或证明不给分,若需要作辅助线,请在答题卡上作出相应的辅助线.)
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解题方法
3 . 函数的单调性反映在图象上,就是曲线的上升或下降.但曲线在上升或下降的过程中,还有一个弯曲方向的问题,即函数的凹凸性.函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述定义如下:
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,则称在区间上的图形是凹的【图1】,区间为凹的区间;
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,
则称在区间上的图形是凸的【图2】.区间为凸的区间;关于导数与函数的凹凸性的关系,有如下定理:
设在区间上连续,在区间上具有一阶和二阶导数,那么
①如果在上恒有,则在区间上的图象是凹的;如果在区间上的图象是凹的,则在上恒有;
②如果在上恒有,则在区间上的图象是凸的;如果在区间上的图象是凸的,则在上恒有
其中是的导函数,为的一阶导数:是的导函数,为的二阶导数.
根据以上内容,完成如下问题:
(1)求函数的凹的区间和凸的区间;
(2)若在区间上图象是凹的,求实数的取值范围;
(3)证明:.
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,则称在区间上的图形是凹的【图1】,区间为凹的区间;
设在区间上连续,如果对上任意两点恒有,
则称在区间上的图形是凸的【图2】.区间为凸的区间;关于导数与函数的凹凸性的关系,有如下定理:
设在区间上连续,在区间上具有一阶和二阶导数,那么
①如果在上恒有,则在区间上的图象是凹的;如果在区间上的图象是凹的,则在上恒有;
②如果在上恒有,则在区间上的图象是凸的;如果在区间上的图象是凸的,则在上恒有
其中是的导函数,为的一阶导数:是的导函数,为的二阶导数.
根据以上内容,完成如下问题:
(1)求函数的凹的区间和凸的区间;
(2)若在区间上图象是凹的,求实数的取值范围;
(3)证明:.
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解题方法
4 . 把一个无穷数列从第2项起,每一项减去它的前一项,得到一个新数列,此数列叫做原数列的1阶差数列.对1阶差数列作同样的处理得到的数列叫做原数列的2阶差数列,如此类推,可得到原数列的阶差数列.如果一个数列的阶差数列是由一个非零常数组成的常数数列,则称这个数列为阶等差数列,非零常数叫做数列的阶公差.
例如,原数列:,,,,,,,
1阶差数列:15,65,175,369,671,1105,
2阶差数列:50,110,194,302,434,
3阶差数列:60,84,108,132,
4阶差数列:24,24,24,
所以原数列为4阶等差数列,24为该数列的4阶公差.
已知数列是2阶等差数列,2阶公差为1,且,.
(1)已知数列是数列的1阶差数列,求数列的通项;
(2)求数列的通项公式;
(3)数列的前项和为,,,证明:.
例如,原数列:,,,,,,,
1阶差数列:15,65,175,369,671,1105,
2阶差数列:50,110,194,302,434,
3阶差数列:60,84,108,132,
4阶差数列:24,24,24,
所以原数列为4阶等差数列,24为该数列的4阶公差.
已知数列是2阶等差数列,2阶公差为1,且,.
(1)已知数列是数列的1阶差数列,求数列的通项;
(2)求数列的通项公式;
(3)数列的前项和为,,,证明:.
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5 . 已知函数,
(1)讨论的单调性;
(2)当时,以为切点,作直线交的图像于异于的点,再以为切点,作直线交的图像于异于的点,…,依此类推,以为切点,作直线交的图像于异于的点,其中.求的通项公式.
(3)在(2)的条件下,证明:
(1)讨论的单调性;
(2)当时,以为切点,作直线交的图像于异于的点,再以为切点,作直线交的图像于异于的点,…,依此类推,以为切点,作直线交的图像于异于的点,其中.求的通项公式.
(3)在(2)的条件下,证明:
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2024-06-28更新
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494次组卷
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2卷引用:四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二下学期期末热身数学试题
名校
解题方法
6 . 已知圆的方程,,,抛物线过两点,且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程;
(2)已知, 设x轴上一定点, 过T的直线交轨迹C于 两点(直线与轴不重合),求证:为定值.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程;
(2)已知, 设x轴上一定点, 过T的直线交轨迹C于 两点(直线与轴不重合),求证:为定值.
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2024-02-03更新
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1027次组卷
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4卷引用:四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考数学试题
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考数学试题湖南省2024届高三数学新改革提高训练一(九省联考题型)(已下线)微专题06 圆锥曲线中非对称韦达定理问题的处理(已下线)专题2 解析几何中动点轨迹(方程)【讲】(压轴题大全)
23-24高一下·四川成都·阶段练习
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解题方法
7 . 在四面体中,,记四面体的内切球半径为.分别过点向其对面作垂线,垂足分别为.
(1)是否存在四个面都是直角三角形的四面体?(不用说明理由)
(2)若垂足恰为正三角形的中心,证明:;
(3)已知,证明:.
(1)是否存在四个面都是直角三角形的四面体?(不用说明理由)
(2)若垂足恰为正三角形的中心,证明:;
(3)已知,证明:.
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2024-06-14更新
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425次组卷
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3卷引用:四川省成都市石室中学2023-2024学年高一竞赛班下学期期末考试数学试题
四川省成都市石室中学2023-2024学年高一竞赛班下学期期末考试数学试题(已下线)四川省成都市第七中学2023-2024学高一下学期6月月考数学试题河南省三门峡市卢氏县第一高级中学2023-2024学年高一下期期末考试数学试题
8 . 如图,在五面体中,,,平面平面,,,,.(1)证明:平面;
(2)若点、分别为、的中点,证明:平面平面;
(3)求该五面体的体积.
(注:本题用空间向量法求解或证明不给分,若需要作辅助线,请在答题卡上作出相应的辅助线.)
(2)若点、分别为、的中点,证明:平面平面;
(3)求该五面体的体积.
(注:本题用空间向量法求解或证明不给分,若需要作辅助线,请在答题卡上作出相应的辅助线.)
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9 . 如图1,由射线PA、PB、PC构成的三面角,,,,二面角的大小为,类比于平面三角形中的余弦定理,我们得到三维空间中的三面角余弦定理:.(1)如图2,在三棱锥中,点M是点B在平面APC中的投影,,连接MD,,,,,.
①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值;
②求三棱锥体积的最大值;
(2)当、、时,请在图1的基础上,试证明三面角余弦定理.
①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值;
②求三棱锥体积的最大值;
(2)当、、时,请在图1的基础上,试证明三面角余弦定理.
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解题方法
10 . 假设视网膜为一个平面,光在空气中不折射,眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图,地面内有圆,其圆心在线段上,且与线段交于不与重合的点,地面,且,点为人眼所在处,视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明,这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹(令为曲线)为椭圆或圆,且由于小孔成像,曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的,则当视网膜平面上的圆的影像为圆时,圆的半径为____________ . 当圆的半径满足时,视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为____________ .
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2024-05-09更新
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212次组卷
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2卷引用:四川省成都市实验外国语学校2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题