1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . 若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．

3 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

4 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)设，求证：对任意的，都有成立.

5 . 已知函数（且）.
(1)求证：函数的图象过定点，并写出该定点；
(2)设函数，且，试证明：函数在区间上有唯一零点.

6 . 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC＝BD．
   
(1)判断四边形EFGH的形状，并加以证明；
(2)求证：平面EFGH．

7 . 如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段，的中点．

(1)求证：//面．
(2)在线段上是否存在一点，使得平面//平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．

8 . 在平面四边形中（如图1），，，，E是AB中点，现将△ADE沿DE翻折得到四棱锥（如图2），

   

(1)求证：平面平面；
(2)图2中，若F是中点，试探究在平面内是否存在无数多个点，都有直线平面，若存在，请证明．

9 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上动点．

   

(1)若F为BC中点，求证：平面AEF；
(2)证明：平面平面PBC．