1 . 已知函数.
(1)试判断的奇偶性，并说明理由；
(2)试判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)求在上的值域.

2 . 在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，.
（i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积.

3 . 已知数列满足，，数列的前项和为，且．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和．

4 . 如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点．

(1)证明：平面．
(2)求与平面所成角的正弦值．

5 . 定义在上的函数满足，，且时，．
(1)求；
(2)判断在上的单调性；
(3)若，求的取值范围.

6 . 已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，直线与双曲线分别交于两点，当时，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设的斜率分别为，当且时，求和的值.

7 . 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》．试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内．已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120．现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图．

(1)根据样本频率分布直方图，计算图中的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数；
(2)已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数和高一年级选历史方向学生成绩的方差．

选科方向	样本平均数	样本方差
物理方向		75
历史方向	60

8 . 已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)设．
（i）证明：的导函数存在唯一零点；
（ii）证明：．

9 . 如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角.

10 . 在2024年“市长杯”青少年校园足球联赛期间，市足球协会发起了“射手的连续进球与射手在球场上的区域位置有关系吗”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如下表所示：

	有关系	无关系	不知道
40岁以下	800	450	200
40岁以上（含40岁）	100	150	300

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“有关系”态度的人群中抽取了45人，求的值；
(2)在持“不知道”态度的人群中，用分层抽样的方法抽取10人看作一个总体．从这10人中随机选取3人，若设其中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望．