1 . 已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点．

2 . 已知函数，，令函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当为正数时，讨论函数的单调性；
(3)若不等式对一切都成立，求的取值范围．

3 . 设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求实数的值；
(2)设函数，求函数的单调区间．

4 . 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求：
(1)抽到他能答对题目数的分布列和期望；
(2)求小明至少答对一道题的概率.

5 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当函数有两个极值点，且.证明：.

6 . 已知，.
(1)若，求函数的图象在处的切线方程；
(2)对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知函数，，．
(1)求函数的导数；
(2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；
(3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．

8 . 高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程．某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100 名学生作为样本进行情况调研，得到下表：

组别	选考科目	频数
第1 组	历史、地理、政治	20
第2 组	物理、化学、生物	17
第 3 组	生物、历史、地理	14
第 4 组	化学、生物、地理	12
第5 组	物理、化学、地理	10
第6 组	物理、生物、地理	9
第7组	化学、历史、地理	7
第8组	物理、历史、地理	5
第 9 组	化学、生物、政治	4
第 10 组	生物、地理、政治	2
		合计： 100

(1)从样本中随机选1 名学生，求该学生选择了化学的概率；
(2)从第组、第组、第组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为，求的分布列和期望．

9 . 已知函数，.
(1)若曲线在处的切线斜率为，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.

10 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若函数的导函数有两个不同的零点，，证明：.