1 . 已知：如图，等腰三角形中，，，直线经过点（点、都在直线的同侧），，，垂足分别为、.
   
(1)求证：；
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系，并证明.

2 . 已知罗尔中值定理：若函数满足：①在上连续；②在上可异；③，则存在，使得．
(1)试证明拉格朗日中值定理：若函数满足：①在们上连续；②在上可导，则存在，使得．
(2)设的定义域与值域均为且在其定义域上连续且可导．求证：对任意正整数n，存在互不相同的，使得．

3 . 设非零向量，，并定义
(1)若，求；
(2)写出之间的等量关系，并证明；
(3)若，求证：集合是有限集.

4 . 如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质．
(1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由；
(2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质；
(3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质．

5 . 对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”
(1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求.
(2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立.

6 . 已知关于x方程在区间内有且只有一个解.
(1)求实数a的取值范围；
(2)如果函数，求证：在上存在极值点和零点；
(3)对于（2）中的和，证明：.

7 . 若函数满足，称为的不动点.
(1)求函数的不动点；
(2)设.求证：恰有一个不动点；
(3)证明：函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点.

8 . 在中，，，若D是AB的中点，则；若D是AB的一个三等分点，则；若D是AB的一个四等分点，则．
       
(1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明．
(2)如图②，若，，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，CB分别交于点P，Q．
①利用（1）的结论，用，表示；
②设，，求证：为定值．

9 . 若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记
，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.
(1)若，函数的定义域为，求和；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设，若函数的定义域为，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.

10 . 在平面直角坐标系xoy中，已知 ，圆C：与x轴交于O ，B．
(1)证明：在x轴上存在异于点A的定点，使得对于圆C上任一点P，都有为定值；
(2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点，过（1）中的点作垂直于x轴的直线l，直线OM与l交于点N，直线AN与直线MB交于点R，求证：点R在椭圆上运动．