名校
1 . 在正项无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等比数列.在无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等差数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
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2024-03-10更新
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936次组卷
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4卷引用:河南省TOP二十名校2024届高三下学期质检一数学试题
名校
解题方法
2 . 若数列满足,其中,则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列,当时.
(ⅰ)求证:数列是等差数列,并写出数列的通项公式;
(ⅱ),求.
(2)若是M数列,且,证明:存在正整数n.使得.
(1)已知数列为M数列,当时.
(ⅰ)求证:数列是等差数列,并写出数列的通项公式;
(ⅱ),求.
(2)若是M数列,且,证明:存在正整数n.使得.
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2024-03-25更新
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1203次组卷
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3卷引用:河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
名校
解题方法
3 . 在平面直角坐标系中,椭圆与双曲线有公共顶点,且的短轴长为2,的一条渐近线为.
(1)求,的方程:
(2)设是椭圆上任意一点,判断直线与椭圆的公共点个数并证明;
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线,切点为、,求证:直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值,并求出该定值.
(1)求,的方程:
(2)设是椭圆上任意一点,判断直线与椭圆的公共点个数并证明;
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线,切点为、,求证:直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值,并求出该定值.
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2022-11-04更新
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580次组卷
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3卷引用:河南省郑州市新密市第一高级中学2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试题
4 . 下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考,请帮助小明完成以下学习任务.
如图,OC平分,点P在OC上,M、N分别是、OB上的点,,求证:.
小明的思考:要证明,只需证明即可.
证法:如图①:∵OC平分,∴,
又∵,,∴,
∴;
请仔细阅读并完成以下任务:
(1)小明得出的依据是______(填序号).
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)如图②,在四边形ABCD中,,的平分线和的平分线交于CD边上点P,求证:.
(3)在(2)的条件下,如图③,若,,当△PBC有一个内角是45°时,的面积是______.
如图,OC平分,点P在OC上,M、N分别是、OB上的点,,求证:.
小明的思考:要证明,只需证明即可.
证法:如图①:∵OC平分,∴,
又∵,,∴,
∴;
请仔细阅读并完成以下任务:
(1)小明得出的依据是______(填序号).
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)如图②,在四边形ABCD中,,的平分线和的平分线交于CD边上点P,求证:.
(3)在(2)的条件下,如图③,若,,当△PBC有一个内角是45°时,的面积是______.
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5 . 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的,人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图,其中与半圆的直径在同一直线上,且的长度与半圆的半径相等;与重直于点足够长.使用方法如图2所示,若要把三等分,只需适当放置三分角器,使经过的顶点,点落在边上,半圆与另一边恰好相切,切点为,则就把三等分了.为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图2,点在同一直线上,垂足为点,
求证:
已知:如图2,点在同一直线上,垂足为点,
求证:
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6 . 请阅读下列材料,并完成相应的任务.
战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
下面是弦切角定理的部分证明过程:
证明:①如图1,AB与相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到,所以弦切角.
②如图2,AB与相切于点A.当圆心O在的外部时,过点A作直径AF交于点F,连接FC.
∵AF是直径,∴,∴.
∵AB与相切于点A,∴,∴,∴.
(1)如图3,AB与相切于点A,当圆心O在的内部时,过点A作直径AD交于点D,在上任取一点E,连接EC,ED,EA,求证:;
(2)如图3,已知的半径为1,弦切角,求的长.
战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
下面是弦切角定理的部分证明过程:
证明:①如图1,AB与相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到,所以弦切角.
②如图2,AB与相切于点A.当圆心O在的外部时,过点A作直径AF交于点F,连接FC.
∵AF是直径,∴,∴.
∵AB与相切于点A,∴,∴,∴.
(1)如图3,AB与相切于点A,当圆心O在的内部时,过点A作直径AD交于点D,在上任取一点E,连接EC,ED,EA,求证:;
(2)如图3,已知的半径为1,弦切角,求的长.
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7 . 下面是由大小相同的小正三角形按一定规律所拼成的几个图案,其中第1个图有1个小正三角形,第2个图有4个小正三角形,第3个图有9个小正三角形,按此规律,用表示第个图的小正三角形个数.
(1)试写出,的值;
(2)猜想出的表达式(不要求证明);
(3)证明:当时,.
(1)试写出,的值;
(2)猜想出的表达式(不要求证明);
(3)证明:当时,.
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2021-08-12更新
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180次组卷
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2卷引用:河南省焦作市2020-2021学年高二下学期期中数学试题
8 . 已知为抛物线上一动点,若点满足(为坐标原点),记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)已知过上一点的直线分别交于两点(异于点A),设的斜率分别为.
①若,求证:直线过定点;
②若,且的纵坐标均不大于0,求的面积的最大值.
(1)求的方程;
(2)已知过上一点的直线分别交于两点(异于点A),设的斜率分别为.
①若,求证:直线过定点;
②若,且的纵坐标均不大于0,求的面积的最大值.
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名校
解题方法
9 . 对于数列,如果存在等差数列和等比数列,使得,则称数列是“优分解”的.
(1)证明:如果是等差数列,则是“优分解”的.
(2)记,证明:如果数列是“优分解”的,则或数列是等比数列.
(3)设数列的前项和为,如果和都是“优分解”的,并且,求的通项公式.
(1)证明:如果是等差数列,则是“优分解”的.
(2)记,证明:如果数列是“优分解”的,则或数列是等比数列.
(3)设数列的前项和为,如果和都是“优分解”的,并且,求的通项公式.
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昨日更新
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823次组卷
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5卷引用:河南省漯河市高级中学2024届高三下学期三模数学试题
10 . 点S是直线外一点,点M,N在直线上(点M,N与点P,Q任一点不重合).若点M在线段上,记;若点M在线段外,记.记.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,点D是射线上一点,且.
(1)若,求;
(2)射线上的点,,,…满足,,
(i)当时,求的最小值;
(ii)当时,过点C作于,记,求证:数列的前n项和.
(1)若,求;
(2)射线上的点,,,…满足,,
(i)当时,求的最小值;
(ii)当时,过点C作于,记,求证:数列的前n项和.
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2024-04-23更新
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689次组卷
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3卷引用:河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题