1 . 已知椭圆的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且，求证：线段CD的中点在x轴上．

2 . 如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

3 . 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.

4 . 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．

(1)求证：平面EAC；
(2)求三棱锥的体积．

5 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点.
(1)求证：；
(2)当时，求的值.

6 . 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，正数，满足，求证：．

7 . 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)已知，，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与其右焦点的最短距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，，为椭圆上的3个动点，且的重心是，求证：的面积为定值，并求这个定值．

9 . 如图，在正方体中，为的中点，.求证：

（1）平面；
（2）平面.

10 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值.