1 . 对任意正整数n，记集合
，
．
，
，若对任意
都有
，则记
．
(1)写出集合
和
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得；
(3)设集合
．求证：
中的元素个数是完全平方数．
，．，，若对任意都有，则记．(1)写出集合
和；(2)证明：对任意
，存在，使得；(3)设集合
．求证：中的元素个数是完全平方数．
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2023-11-15更新
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158次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022届高三上学期期末统一检测数学试题
名校
解题方法
2 . 已知椭圆
过点
，且离心率为
．设
，
为椭圆
的左、右顶点，
为椭圆上异于，的一点，直线
，
分别与直线
相交于
，
两点，且直线
与椭圆交于另一点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线？并证明你的结论．
过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．(1)求椭圆
的标准方程；(2)求证：直线
与的斜率之积为定值；(3)判断三点
，，是否共线？并证明你的结论．
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名校
解题方法
3 . 已知二次函数
满足
．
(1)求
，
的值；
(2)求证：
的图像关于直线
对称；
(3)用单调性定义证明：函数在区间
上是增函数；
(4)若函数
是奇函数，当
时，
．
（i）直接写出的单调递减区间为_________；
（ii）求出的解析式．
满足．(1)求
，的值；(2)求证：
的图像关于直线对称；(3)用单调性定义证明：函数
在区间上是增函数；(4)若函数
是奇函数，当时，．（i）直接写出
的单调递减区间为_________；（ii）求出
的解析式．
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名校
解题方法
4 . 如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，过
的平面与侧棱
的交点分别是
.
(1)证明：
；
(2)若
底面，求证：
平面
.
中，底面是正方形，过的平面与侧棱的交点分别是.(1)证明：
；(2)若
底面，求证：平面.
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2022-11-02更新
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689次组卷
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3卷引用：北京市房山区2022-2023学年高二上学期学业水平调研（期中）考试数学试题
名校
5 . 若数列
的子列
均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若
，数列
的前15项与
的前15项中相同的项构成数列
，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设
的公差分别为
．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．(1)若
，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；(2)若数列
既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．（ⅰ）判断
的大小关系并证明；（ⅱ）求证：数列
是等差数列．
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2022-11-02更新
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460次组卷
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3卷引用：北京市大兴区2023届高三上学期期中检测数学试题
名校
解题方法
6 . 如图，在三棱柱
中，
是边长为4的正方形，平面
平面，
，
，点
是的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)证明：在线段
上存在点
，使得
.并求
的值.
中，是边长为4的正方形，平面平面，，，点是的中点，(1)求证：
平面；(2)求证：
平面；(3)证明：在线段
上存在点，使得.并求的值.
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2022-12-04更新
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709次组卷
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2卷引用：北京海淀区教师进修学校2023届高三上学期12月月考数学试题
7 . 已知函数
.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)求证：函数在
为增函数.
.(1)求函数
的定义域；(2)判断函数
的奇偶性并证明；(3)求证：函数
在为增函数.
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8 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为
的菱形，
，
为正三角形，
为
的中点，且平面
平面，是线段
上的点．
(1)当点为线段的中点时，证明直线
平面
(2)求证：
；
(3)点在线段上，且
，求直线
与平面的夹角的正弦值
中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．(1)当点
为线段的中点时，证明直线平面(2)求证：
；(3)点
在线段上，且，求直线与平面的夹角的正弦值
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名校
解题方法
9 . 已知椭圆过点
，且离心率为
．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．
过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．(1)求椭圆
的标准方程；(2)求证：直线
与的斜率之积为定值；(3)判断三点
，，是否共线：并证明你的结论．
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2022-10-11更新
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1675次组卷
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9卷引用：北京市第八中学2023届高三上学期10月月考数学试题
解题方法
10 . 如图，在直角梯形中，
，
，
，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
平面ADF；
(2)求证：直线
平面ADF；
(3)当平面
平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．
平面ADF；(2)求证：直线
平面ADF；(3)当平面
平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：
；条件②：
；条件③：
．
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2022-07-08更新
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1280次组卷
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11卷引用：北京市丰台区2021-2022学年高一下学期期末练习数学试题
北京市丰台区2021-2022学年高一下学期期末练习数学试题（已下线）7.2 空间几何中的垂直（精练）（已下线）7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（已下线）高考新题型-立体几何初步（已下线）8.6.1 空间直线、平面的垂直（精练）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）模块三 专题9（劣构题）拔高能力练(北师大版）（已下线）模块三 专题9（劣构题）基础夯实练（人教B）（已下线）模块三 专题9（劣构题）拔高能力练人教A版）（已下线）2023年高考全国乙卷数学(理)真题变式题16-20（已下线）模块三 专题10（劣构题）拔高能力练（苏教版）（已下线）专题06 空间中点线面的位置关系6种常考题型归类（1）-期期末真题分类汇编（北京专用）
