1 . 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若在第一象限，证明：.

3 . 如图，在直三棱柱中，，，，点 分别为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．

4 . 如图1所示，在矩形ABCD中，，，M为CD中点，将△DAM沿AM折起，使点D到点P处，且平面平面，如图2所示．
   
(1)求证：；
(2)在棱PB上取点N，使平面平面，求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.

5 . 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.

   

(1)求证：平面.
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出 的长：若不存在，说明理由．

6 . 如图，在正方体中，为的中点，为的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．

7 . 在直三棱柱中，，，．
(1)求证：；
(2)记直线与所成角为，二面角大小为，求．

8 . 在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足．
   
(1)若，求证平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若平面与平面的夹角的正弦值为，求的值．

9 . 已知平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.
          
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.

10 . 如图，已知四边形内接于一圆，，于，求证：