1 . 如图，在边长为的正方体中，为中点，

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

2 . 如图，在长方体中，，，.

   

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)若有两个不相等的实数满足，求证：．

4 . 实数，，.
(1)讨论的单调性并写出过程；
(2)求证：.

5 . 双曲线：的左顶点为，实轴长为2，过右焦点作垂直于实轴的直线交于，两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)，是右支上的两点，设直线，的斜率分别是，，若.
①求证：直线恒过定点；
②求点到直线的距离的取值范围.

6 . 已知函数．
(1)当时，若恒成立，求的取值范围；
(2)若在上有极值点，求证：．

7 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面.

   

(1)求证：平面；
(2)求侧面与底面所成二面角的正弦值.

8 . 已知函数．
(1)当时，证明：只有一个零点．
(2)若，求的取值范围．

9 . 已知函数.
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.

10 . 已知函数，．
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，数列满足，且，证明：；
(3)当时，恒成立，求a的取值范围．