1 . 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
(3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集

2 . 设函数．
(1)若，，证明：曲线是中心对称图形；
(2)若，且函数有三个不同的零点，求实数c的取值范围；
(3)证明：“”是有三个不同的零点的必要不充分条件．

3 . 已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
(1)若数列，求集合，并写出的值；
(2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
(3)已知数列，求证：．

4 . 已知函数的定义域为M，区间，对任意，且，记，．若，则称在I上具有性质A；若，则称在I上具有性质B：若，则称在I上具有性质C；若，则称在I上具有性质D．
(1)记①充分不必要条件：②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件，
则在I上单调递增是在I上具有性质A的________（填正确选项的序号）：
在I上单调递增是在I上具有性质B的________（填正确选项的序号）；
在I上单调递增是在I上具有性质D的________（填正确选项的序号）；
(2)若在满足性质B，求实数a的取值范围；
(3)是否存在m，，使得函数在区间上恰满足性质A，B，C，D中的一个？若不存在，请说明理由：若存在，求实数m的最小值．

5 . 已知双曲线的焦距为，且的离心率为.记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点.
(1)求的方程；
(2)证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件.

6 . 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令．
(1)若，请写出，，，的值；
(2)求证：“数列是严格增的等差数列”是“数列是严格增的等差数列”的充要条件．

7 . 椭圆，过一点作两直线交椭圆分别于和，若的斜率存在且不为0，证明：四点共圆的充要条件为倾斜角互补．

8 . 已知椭圆 的左、右顶点分别为、，且椭圆经过点 .
(1)求的值，并求经过点且与圆相切的直线方程；
(2)设为椭圆上的一个异于、的动点，直线、分别与直线相交于、两点，求的最小值：
(3)已知椭圆上有不同的两点、，且直线不与坐标轴垂直，设直线、的斜率分别为、，求证：“”是“直线经过定点”的充要条件．