1 . 德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（       ）

A．2倍

B．4倍

C．6倍

D．8倍

2 . 已知数列满足，函数的极值点为，若，则__________．

3 . 指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数随时间（单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：，其中为常数，为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了，则感染人数累计增加需要的时间大约为（       ）（参考数据：，）

A．10.5天

B．9天

C．8天

D．6天

4 . 定义：若函数的值域是定义域的子集，则称是紧缩函数．
(1)试问函数是否为紧缩函数？说明你的理由．
(2)若函数是紧缩函数，求的取值范围．
(3)已知常数，函数，是紧缩函数，求的取值集合．

5 . 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.人口的年平均增长率满足，其中为经过的时间，为时的人口总数（单位：万），为经过年后的人口总数（单位：万）.下表为三市2022年人口总数及预计年平均增长率情况：

	2022年人口总数	年平均增长率
A市		0.02～0.03
B市		0.04～0.05
C市		0.03

利用上表数据，设A、B、C三市在2032年底人口总数的估计值分别为，，，则（       ）

A．	B．
C．	D．

6 . 三角函数的定义是：在单位圆C：中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，

   

（1）阅读上述文字并求出,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①；
②；
（Ⅱ）①求函数在R上的值域；
②若对，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知的级数展开式为，写出的级数展开式．

7 . 已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 下列命题正确的是（       ）

A．若函数过点，则

B．若，则在方向上的投影向量的坐标为

C．若弧长为的弧所对圆心角为，则扇形面积为

D．

9 . 放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（       ）

物质	τ的量纲单位	τ的值
铀234	万年	35.58
铀235	亿年	10.2
铀238	亿年	64.75

A．	B．与成正比例关系
C．	D．

10 . 已知，函数，下列结论正确的是（       ）

A．

B．若在上单调递增，则的取值范围是

C．若函数有2个零点，则的取值范围是

D．若的图象上不存在关于原点对称的点，则的取值范围是