2024·全国·模拟预测
1 . 已知函数,,下列命题正确的是( )
A.若,则有且只有一个零点 |
B.若,则在定义域上单调,且最小值为0 |
C.若,则有且只有两个零点 |
D.若,则为奇函数 |
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2 . 小竹以某速度沿正北方向匀速行进. 某时刻时,其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向. 已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米,可视为笔直线段的水柱,且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动. 若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度,则他行进的速度可以是( )
A. | B. |
C. | D. |
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3 . 已知函数.
(1)求函数的值域;
(2)设,若,恒成立,求时t的最大值.
(1)求函数的值域;
(2)设,若,恒成立,求时t的最大值.
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4 . 函数是取整函数,也被称为高斯函数,其中表示不超过x的最大整数,例如:,.若在的定义域内,均满足在区间上,是一个常数,则称为的取整数列,称为的区间数列,下列说法正确的是( )
A.的区间数列的通项 |
B.的取整数列的通项 |
C.的取整数列的通项 |
D.若,则数列的前n项和 |
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5 . 已知函数的导函数为是自然对数的底数,若,则( )
A. | B. |
C. | D. |
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6 . 已知函数的定义域是R,的导函数为,且,,若为偶函数,则下列说法中错误的是( )
A. |
B. |
C.若存在使在上严格增,在上严格减,则2024是的极小值点 |
D.若为偶函数,则满足题意的唯一,不唯一 |
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7 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一,它与导数和函数的零点有关,是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下:如果函数满足在闭区间连续,在开区间内可导,且,那么在区间内至少存在一点,使得.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
(3)证明:当时,有.
(1)运用罗尔定理证明:若函数在区间连续,在区间上可导,则存在,使得.
(2)已知函数,若对于区间内任意两个不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围.
(3)证明:当时,有.
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8 . 函数、的定义域均为,若对任意两个不同的实数,,均有或成立,则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对,并说明理由;
(2)已知与为相关函数对,求实数的取值范围;
(3)已知函数与为相关函数对,且存在正实数,对任意实数,均有.求证:存在实数,使得对任意,均有.
(1)判断函数与是否为相关函数对,并说明理由;
(2)已知与为相关函数对,求实数的取值范围;
(3)已知函数与为相关函数对,且存在正实数,对任意实数,均有.求证:存在实数,使得对任意,均有.
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9 . 已知定义域为的函数,其图象是连续的曲线,且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程;
(2)已知,当与满足什么条件时,存在非零实数,对任意的实数使得恒成立?
(3)若函数是奇函数,且满足.试判断对任意的实数是否恒成立,请说明理由.
(1)求函数在点的切线方程;
(2)已知,当与满足什么条件时,存在非零实数,对任意的实数使得恒成立?
(3)若函数是奇函数,且满足.试判断对任意的实数是否恒成立,请说明理由.
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10 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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