1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . 已知函数：且.
（1）证明：对定义域内的所有都成立；
（2）当的定义域为时，求证：的值域为；
（3）设函数，求的最小值.

3 . 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
(1)已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
(2)已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．

4 . 已知函数，且的图象关于轴对称．
(1)求的值并证明在区间上单调递增；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．

6 . 已知且，函数．
(1)求的定义域及其零点；
(2)讨论并证明函数在定义域上的单调性；
(3)设，当时，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．

7 . 已知函数，.
(1)当，时，解关于的不等式；
(2)当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：.

8 . 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立.
(1)证明：在上单调递增；
(2)解不等式：；
(3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.

9 . 在中，内角所对的边分别为．
(1)若，求证：；
(2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围．
(3)若为锐角且，求周长的最小值．

10 . 已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2．
(1)求的值；
(2)设函数，求证：为奇函数的充要条件是．