名校
1 . 对于函数
，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为
，如果可以找到一步步逼近的
，
，
，
，
，使得当
时，
，则可把看做函数
的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作
的切线，切线与
轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在
处的切线的斜率为
，由此写出切线方程
，因为
，所以令
得切线与轴交点的横坐标
，同理得
，
，以此类推，可以得到
.
(1)对于函数，当
时，求，的值；
(2)已知函数
的定义域R.
①对于函数，若
为公差不为零的等差数列，求证：无零点；
②当
时，运用“牛顿法”证明：
，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为，如果可以找到一步步逼近的，，，，，使得当时，，则可把看做函数的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为：选取合适的，在横坐标为的点作的切线，切线与轴的交点的横坐标即，再用代替，重复上面的过程得到，如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为，由此写出切线方程，因为，所以令得切线与轴交点的横坐标，同理得，，以此类推，可以得到.(1)对于函数
，当时，求，的值；(2)已知函数
的定义域R.①对于函数
，若为公差不为零的等差数列，求证：无零点；②当
时，运用“牛顿法”证明：
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解题方法
2 . 已知函数
其中
.
(1)若
证明：当
时，
(2)若
，求证：
有唯一极值点，且
；
(3)若
，函数
有三个极值点
证明：
.
其中.(1)若
证明：当时，(2)若
，求证：有唯一极值点，且；(3)若
，函数有三个极值点证明：.
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解题方法
3 . 设实系数一元二次方程
①，有两根
，
则方程可变形为
，展开得
②，
比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程
有三个根
，则有
③
(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数
恰有两个零点.
（i）求证：
的其中一个零点大于0，另一个零点大于
且小于0；
（ii）求
的取值范围.
①，有两根，则方程可变形为
，展开得②，比较①②可以得到
这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.
事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.
设方程
有三个根，则有③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数
恰有两个零点.（i）求证：
的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii）求
的取值范围.
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2024-04-18更新
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543次组卷
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6卷引用：贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高二下学期教学质量监测卷（三）数学试题
贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高二下学期教学质量监测卷（三）数学试题（已下线）模块五 专题6 全真拔高模拟6（人教B版高二期中研习）（已下线）四川省成都市第七中学20232024学年高二下学期期末考试数学试卷（已下线）四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2025届高三上学期开学适应性考试数学试卷四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题
名校
4 . 已知函数
，
为函数
的反函数
(1)讨论在
上的单调性，并用定义证明；
(2)设
，求证：
有且仅有一个零点，且
.
，为函数的反函数(1)讨论
在上的单调性，并用定义证明；(2)设
，求证：有且仅有一个零点，且.
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5 . 已知函数
，
，
.
(1)当
时，判断函数的奇偶性并证明；
(2)当
且
时，利用函数单调性的定义证明函数在
上单调递增；
(3)求证：当
且
时，方程在
内有实数解.
，，.(1)当
时，判断函数的奇偶性并证明；(2)当
且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；(3)求证：当
且时，方程在内有实数解.
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6 . 已知函数
，
(1)已知
为单调递增函数，请判断的单调性，并用单调性定义证明；
(2)若
，求证：方程
在区间
上有且仅有一个实数解.
，(1)已知
为单调递增函数，请判断的单调性，并用单调性定义证明；(2)若
，求证：方程在区间上有且仅有一个实数解.
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解题方法
7 . 已知函数
，（其中
是自然对数的底数）
(1)判断函数在
上的单调性（不必证明）；
(2)求证：函数在
内存在零点，且
；
(3)在（2）的条件下，求使不等式
成立的整数
的最大值.
（参考数据：
）
，（其中是自然对数的底数）(1)判断函数
在上的单调性（不必证明）；(2)求证：函数
在内存在零点，且；(3)在（2）的条件下，求使不等式
成立的整数的最大值.（参考数据：
）
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解题方法
8 . 已知函数
.
(1)用单调性定义证明：在
上单调递增；
(2)若函数
有3个零点
，满足
，且
.
①求证：
；
②求
的值（
表示不超过的最大整数）.
.(1)用单调性定义证明：
在上单调递增；(2)若函数
有3个零点，满足，且 .①求证：
；②求
的值（表示不超过的最大整数）.
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9 . 设函数的定义域为
，对于区间
（
，
），若满足以下两条性质之一，则称
为的一个“美好区间”.性质①：对任意
，有
；性质②：对任意，有
.
(1)判断并证明区间
是否为函数
的“美好区间”；
(2)若
（
）是函数
的“美好区间”，试求实数
的取值范围；
(3)已知定义在
上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有
.求证：存在“美好区间”，且存在
，使得不属于的任意一个“美好区间”.
的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.(1)判断并证明区间
是否为函数的“美好区间”；(2)若
（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；(3)已知定义在
上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.
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10 . 已知函数
，
，且满足
.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证函数存在唯一零点；
(3)设
，证明
.
，，且满足.(1)求实数a的取值范围；
(2)求证函数
存在唯一零点；(3)设
，证明.
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