1 . 设函数.
(1)讨论的导函数的零点的个数；
(2)证明：当时，.

2 . 已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明.

3 . 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点. 函数的所有点构成的集合称为的集.
(1)判断是否是函数的点，并说明理由；
(2)若函数，求的集；
(3)若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集，求证：.

4 . 已知函数， 其中为常数，且.
(1)若是奇函数， 求a的值；
(2)证明：在上有唯一的零点；
(3)设在上的零点为，证明：.

5 . 已知函数，为的导数．
(1)证明：在区间上存在唯一的极大值点；
(2)讨论零点的个数．

6 . 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)求证：有唯一极值点，且.

7 . 设函数，其中.
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)若，记，求证：函数在上有零点.

8 . 已知函数.
(1)若在区间内存在极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：在区间内存在唯一的零点，并比较与的大小，说明理由.

9 . 已知函数．
(1)证明：函数只有一个零点；
(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围．

10 . 已知函数．
(1)求的单调区间．
(2)若存在两个不同的零点，且．求证