1 . 已知函数， 其中为常数，且.
(1)若是奇函数， 求a的值；
(2)证明：在上有唯一的零点；
(3)设在上的零点为，证明：.

2 . 对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
(1)求证：函数在上是“1跃点”函数；
(2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；
(3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数，
(1)若，成立，求实数的取值范围；
(2)证明：有且只有一个零点，且.

4 . 已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
(2)若，证明：在区间内有唯一的零点．

5 . 已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明.

6 . 已知函数，为的导数．
(1)证明：在区间上存在唯一的极大值点；
(2)讨论零点的个数．

7 . 设函数，其中.
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)若，记，求证：函数在上有零点.

9 . 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由；
(2)证明函数在上有“飘移点”；
(3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．

10 . 已知函数．
(1)若的最小值为，求a的值；
(2)若，证明：函数存在两个零点，，且．