1 . 设函数.
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)证明:对每个，存在唯一的，满足；
(3)证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足.

2 . 已知函数.
(1)若在区间内存在极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：在区间内存在唯一的零点，并比较与的大小，说明理由.

3 . 设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”.性质1：对任意，有；性质2：对任意，有.
(1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；①；②.
(2)若（）是函数的“区间”，求m的取值范围；
(3)已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有.求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”.

4 . 已知函数（，且）的图象经过点.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值；
(3)若函数，求证：在区间内存在零点.

5 . 已知函数，
(1)求的最大值；
(2)证明：函数有零点.

6 . 已知函数，是的导函数，且．
(1)求实数的值，并证明函数在处取得极值；
(2)证明在每一个区间都有唯一零点．

7 . 已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)求证：时，只有一个零点；
(3)若有两个零点，求实数的取值范围．

8 . 已知函数.
(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若函数，是的导函数，证明：存在唯一的零点，且.

9 . 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)求证：有唯一极值点，且.

10 . 已知函数，，
(1)若，证明：．
(2)若，
①证明：函数存在唯一的极值点．
②若，且，证明：．