1 . （1）证明：
；
（2）若
，
，利用（1）结合自己所学知识，求
.
；（2）若
，，利用（1）结合自己所学知识，求.
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2 . 已知函数
．
(1)当
时，求
，并判断函数
零点的个数；
(2)当
时，有三个零点
，记
，
，2，3．证明：①
；②
．
参考公式：
．
．(1)当
时，求，并判断函数零点的个数；(2)当
时，有三个零点，记，，2，3．证明：①；②．参考公式：
．
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名校
3 . 已知函数
（
）.
(1)若在
上的最小值为
，求a的值；
(2)证明：存在唯一零点
且满足
.
（）.(1)若
在上的最小值为，求a的值；(2)证明：
存在唯一零点且满足.
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23-24高二下·上海·期末
解题方法
4 . 已知椭圆
，抛物线
.若直线
与曲线
交于点
、
，直线与曲线
分别交于点
、
．当
时，则称直线是曲线与的“等弦线”．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线
同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程；
(3)已知点
，
，证明：过点
存在与的“等弦线”．
，抛物线.若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”．(1)求椭圆
的离心率；(2)直线
同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程；(3)已知点
，，证明：过点存在与的“等弦线”．
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名校
5 . 已知
且
，函数
.
(1)记
为数列
的前项和.当
时，试比较
与2024的大小，并说明理由；
(2)当
时，证明：
；
(3)当且时，试讨论的零点个数.
且，函数.(1)记
为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由；(2)当
时，证明：；(3)当
且时，试讨论的零点个数.
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2024-05-06更新
|
363次组卷
|
3卷引用：湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题
名校
解题方法
6 . 设
是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程
有实根；②在定义域区间上可导，且
满足
.
(1)判断
，
是否是集合中的元素，并说明理由；
(2)设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意
、
，都有
.
是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.(1)判断
，是否是集合中的元素，并说明理由；(2)设函数
为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.
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2024-06-08更新
|
532次组卷
|
3卷引用：2024届广东省汕头市普通高考第二次模拟考试数学试题
名校
7 . 已知函数
.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在正数
，使
成立，求
的取值范围；
(3)若
，证明：对任意
，存在唯一的实数
，使得
成立.
.(1)讨论函数
的单调性；(2)若存在正数
，使成立，求的取值范围；(3)若
，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立.
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2024-04-18更新
|
1899次组卷
|
5卷引用：江苏省扬州中学、盐城中学、淮阴中学、丹阳中学四校2023-2024学年高三下学期调研测试联考数学试卷
名校
8 . 已知函数
．
(1)讨论的单调性；
(2)设
分别是的极小值点和极大值点，记
．
（i）证明：直线
与曲线
交于除
外另一点
；
（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值
且
，使
，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
．(1)讨论
的单调性；(2)设
分别是的极小值点和极大值点，记．（i）证明：直线
与曲线交于除外另一点；（ii）在（i）结论下，判断是否存在定值
且，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
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2024-04-13更新
|
731次组卷
|
2卷引用：吉林省吉林地区普通高中2024届高三第三次模拟考试数学试题
名校
解题方法
9 . “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：
在点
处的切线为
，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有
. 该结论可通过构造函数
并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ）
；
②
；
③
；
④
.
在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ）
；②
；③
；④
.A． 个 | B． 个 | C． 个 | D． 个 |
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2024·福建泉州·模拟预测
10 . 在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面
中，光在介质Ⅰ内点
以入射角，速度
在介质1内传播至轴上的点
，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点
.
；
(2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题：
（i）证明：
.
（ii）若
，
，
，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围.
中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点.
；(2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题：
（i）证明：
.（ii）若
，，，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围.
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