1 . 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

2 . 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点的切线方程；
（2）求证：若有极值，则极大值必大于0.

3 . 已知函数.
（1）若曲线存在一条切线与直线垂直，求a的取值范围；
（2）证明：.

4 . 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明恰有两个极值点和，并求的值.

5 . 已知曲线(其中e为自然对数的底数)在处的切线方程为.
（1）求a，b值；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

6 . 已知函数.
（1）若该函数在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若函数在其定义域上有两个极值点.
①求的取值范围；
②证明:.

7 . 设函数．
（1）若，求曲线在坐标原点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数在上的极值点的个数；
（3）证明：.

8 . 已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值；
（2）若的图象恒在直线的下方．
①求实数的取值范围；
②证明：对任意正整数，都有

9 . 设点是幂函数图象上任意一点，点在轴和轴上的射影分别为、，且四边形的面积为常数．
（1）求的表达式；
（2）证明：函数在点处的切线与坐标轴围成的面积为定值．

10 . 在平面直角坐标系中，已知定点，以为直径的圆与轴相切，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）是曲线上异于坐标原点的任意一点，过点的直线交轴的正半轴于点，且，另有直线∥，且与曲线相切于点，证明：直线经过定点，并求出定点坐标.