名校
解题方法
1 . 我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数
的零点
的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线
，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为
，其在
处的切线为
，现计划再建一条总干线
，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出
的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线
，计划将仓库中直线与
之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、
分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出
的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；(2)在直角坐标系中，设直线
，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
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2023-03-30更新
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1252次组卷
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6卷引用：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第二次高考模拟数学试题
2 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数
在闭区间
上的图象连续不间断，在开区间
内的导数为
，那么在区间内至少存在一点
，使得
成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数
在
上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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2023-02-17更新
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1312次组卷
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14卷引用：山西省忻州市河曲县中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题
山西省忻州市河曲县中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题山西省名校2022-2023学年高二下学期联考数学试题云南省昆明市安宁中学2022-2023学年高二下学期第一次检测数学试题陕西省商洛市2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题广东省佛山市南海区石门中学2022-2023学年高二下学期第一次质量检测数学试题（已下线）第五章 一元函数的导数及其应用（单元综合检测）-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第二册）广东省珠海市第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）模块五 专题2 全真能力模拟（高二人教B）广东省佛山市南海区2022-2023学年高二下学期期中数学试题河北省廊坊市固安县马庄中学等2校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题山东省临沂市郯城第一中学2023-2024学年高二下学期阶段性检测一数学试卷福建省泉州市泉港区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题吉林省长春市第八中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）核心考点3 导数的应用（恒成立，不等式，零点） A基础卷 （高二期末考试必考的10大核心考点）
名校
3 . 近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为
，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为
，请判断是否存在唯一的
值
，使得
？并说明理由．
，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为
，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由．
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2023-02-14更新
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1598次组卷
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5卷引用：湖南省长沙市第一中学2023届高三下学期2月月考(六)数学试题
解题方法
4 . 晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面.在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切.已知该晶胞的边长（图1中正方体的棱长）为
，则当图（2）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小值为（ ）
，则当图（2）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小值为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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名校
解题方法
5 . 艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列
：
，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数
有两个零点1，2，数列为牛顿数列．设
，已知
，
的前n项和为
，则
等于（ ）
零点时给出一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列．设，已知，的前n项和为，则等于（ ）| A．2022 | B．2023 | C． | D． |
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2023-05-23更新
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684次组卷
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5卷引用：福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2023届高三上学期12月联考数学试题
福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2023届高三上学期12月联考数学试题新疆乌鲁木齐八一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题1 建立递推关系求通项公式 微点1 建立递推关系求通项公式（已下线）专题06 数列在高考中的考法（难点，十一大题型+过关检测专训）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）【练】专题4 数列新定义问题
名校
6 . 定义：如果函数
和
的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数
和
是否具有C关系；
(2)若函数
和
不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数
和
在区间
上具有C关系，求实数m的取值范围．
和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．(1)判断函数
和是否具有C关系；(2)若函数
和不具有C关系，求实数a的取值范围；(3)若函数
和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
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2022-12-15更新
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2355次组卷
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11卷引用：上海市闵行区2023届高三一模数学试题
上海市闵行区2023届高三一模数学试题（已下线）2023年四省联考变试题17-22上海市敬业中学2023届高三三模数学试题（已下线）上海高二下学期期末真题精选（压轴60题35个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）上海市复兴高级中学2024届高三上学期开学考试数学试题（已下线）重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点4 导数与数学文化综合训练江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（二）河北省石家庄市第二中学西校区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题四川省成都市西北中学2023-2024学年高二下学期4月阶段性考试数学试题（已下线）专题09 导数及其应用 压轴题（六大题型）-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）
名校
解题方法
7 . 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数
为“不动点”函数，则实数
的取值范围是（ ）
，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-12-08更新
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1478次组卷
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5卷引用：河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题
河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题（已下线）专题4 “素材创新”类型江苏省常州市奔牛高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题福建省龙岩第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）
名校
解题方法
8 . 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2023-03-18更新
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707次组卷
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9卷引用：陕西省西安市周至县2021届高三下学期三模文科数学试题
陕西省西安市周至县2021届高三下学期三模文科数学试题陕西省渭南市蒲城县2021届高三下学期第三次对抗赛文科数学试题陕西省延安中学2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题（已下线）模块二 情境9 经典数学问题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）（已下线）专题4 导数在不等式中的应用（B）（已下线）模块一 专题4 《导数在不等式中的应用》B提升卷（苏教版）（已下线）模块一 专题6 导数在不等式中的应用B提升卷（高二人教B版）（已下线）模块三 专题3 高考新题型专练（专题2：新定义专练）（北师大）（高二）
名校
解题方法
9 . 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥
，
，
，再分别以
，
，
为轴将
，
，
分别向上翻转
，使
，
，
三点重合为点
所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于
减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是
，所以正四面体在各顶点的曲率为
.
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用
表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积
；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用
表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点
的曲率的余弦值.
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2022-05-09更新
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3145次组卷
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18卷引用：辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三上学期联合考试（二模）数学试题
辽宁省沈阳市东北育才学校2022届高三上学期联合考试（二模）数学试题（已下线）专题24 立体几何解答题最全归纳总结-3山东省青岛市青岛第五十八中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题20 空间几何解答题（文科）-2（已下线）专题19 空间几何解答题（理科）-2辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校科学高中部2023-2024学年高三上学期高考适应性测试（一)数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点3 曲率与曲率圆综合训练上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）模块四 专题7 新情境专练（拔高）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）（已下线）重难点突破06 立体几何解答题最全归纳总结（九大题型）-3（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（练习）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）（已下线）重难点12 立体几何必考经典解答题全归类【九大题型】（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】江西省南昌市第十九中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题（已下线）专题7 考前押题大猜想31-35（已下线）压轴题04立体几何压轴题10题型汇总-2
10 . 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数
在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数
在
上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）| A．3 | B．2 | C．1 | D．0 |
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2022-03-21更新
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1255次组卷
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11卷引用：江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二下学期第一次调研测试数学试题
（已下线）江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二下学期第一次调研测试数学试题广东省深圳市南山区华侨城中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题江苏省南通市石庄高级中学2021-2022学年高二下学期3月第一次调研数学试题重庆市朝阳中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题广东省中山市迪茵公学2021-2022学年高二下学期第一次段考数学试题（已下线）专题23 拉格朗日安徽省合肥市肥东县综合高中2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题山东省菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）2022-2023学年高二下学期创新部第一次月考数学试题辽宁省沈阳市第三十六中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题内蒙古赤峰二中2022-2023学年高二下学期第二次月考数学（理）试题江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题
