1 . 帕德近似是法国数学家亨利
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，
，
.（注：
，
，
，
，
为
的导数）已知
在处的
阶帕德近似为
.
(1)求实数的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
为实数，讨论函数
的单调性.
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，.（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.(1)求实数
的值；(2)证明：当
时，；(3)设
为实数，讨论函数的单调性.
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2 . 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式
，其中为悬链线系数，
称为双曲余弦函数，其函数表达式
，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为
．
(1)证明：①
；
②
．
(2)求不等式：
的解集．
(3)已知函数
存在三个零点，求实数
的取值范围．
，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．(1)证明：①
；②
．(2)求不等式：
的解集．(3)已知函数
存在三个零点，求实数的取值范围．
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3 . 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球
次，红球出现
次．假设每次摸出红球的概率为
，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为
．
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为
，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为
，则
．
（注：
表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为
的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
（ⅱ）在统计理论中，把使得 的取值达到最大时的 ，作为的估计值，记为
，请写出的值．
(2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数
构建对数似然函数
，再对其关于参数求导，得到似然方程
，最后求解参数的估计值．已知
的参数的对数似然函数为
，其中
．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为
，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．（注：
表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
| ||
|
|
|
的，作为的估计值，记为，请写出的值．(2)把（1）中“使得
的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
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2024-06-18更新
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208次组卷
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7卷引用：山东省青岛第一中学2023-2024学年高二下学期第一次模块考试数学试题
山东省青岛第一中学2023-2024学年高二下学期第一次模块考试数学试题（已下线）专题02 高二下期末真题精选（压轴题 ）-高二期末考点大串讲（人教A版2019）浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题吉林省长春市实验中学2024届高三下学期对位演练考试数学试卷（一）（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题贵州省贵阳市第一中学等校2024届高三下学期三模数学试题
名校
解题方法
4 . 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若
为
上任意个实数，满足
，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在
上的导函数为
在上的导函数为
，当
时，函数在上为“凹函数”.已知
，且
，令
的最小值为
，则
为（ ）
为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-05-16更新
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513次组卷
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4卷引用：福建省龙岩市上杭一中2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
名校
5 . 18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当很大时，
（
为常数）.基于上述事实，已知
，
，
，则，，
的大小关系为（ ）
很大时，（为常数）.基于上述事实，已知，，，则，，的大小关系为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-06-19更新
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695次组卷
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8卷引用：安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题
安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题安徽省池州市贵池区池州市第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（已下线）模块四 专题2 期末重组综合练（山东）1号卷·A10联盟高二年级（2021级）下学期6月学情调研考试数学试题（已下线）专题2 导数在研究函数单调性中的应用（B）（已下线）第二章 综合测试B（提升卷）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）（已下线）模块一 专题2 《导数在研究函数单调性中的应用》 B提升卷（苏教版）
名校
6 . 定义：设
是的导函数，是函数的导数.若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数
的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
是的导函数，是函数的导数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）A． ， |
| B．函数有三个零点 |
C．过 可以作两条直线与图像相切 |
D．若函数在区间 上有最大值，则 |
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解题方法
7 . 麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且
（
，2，…n）
，定义X的信息熵
，则下列说法正确的有（ ）
（，2，…n），定义X的信息熵，则下列说法正确的有（ ）A．n=1时 |
B．n=2时，若 ，则 与 正相关 |
C．若 ， ， |
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且 （j=1,2,…,m）则 |
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2023-04-30更新
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1492次组卷
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6卷引用：专题05 等比数列与数列综合求和-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）
（已下线）专题05 等比数列与数列综合求和-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）广东省中山市华辰实验中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题2023年新老高考过渡省份适应性联考数学试题（已下线）专题18 数列中的创新题的解法 微点2 数列中的创新题综合训练重庆市2023届高三下学期5月月度质量检测数学试题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点3 导数与数学文化（三）
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解题方法
8 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
，在圆内异于圆心处取一点，标记为
；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为
的圆形纸片，定点到圆心的距离为
，按上述方法折纸.以向量
的方向为
轴正方向，线段
中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆
的标准方程；
(2)已知点
是圆
上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是
，求
面积的最大值，并确定此时点的坐标.
注：椭圆：
上任意一点
处的切线方程是：
.
，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点
；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为
的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.(1)求折痕围成的椭圆
的标准方程；(2)已知点
是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.注：椭圆：
上任意一点处的切线方程是：.
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2023-04-27更新
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1221次组卷
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10卷引用：模块四 专题1 高考新题型专练（新定义专练）（人教A）（高二）
（已下线）模块四 专题1 高考新题型专练（新定义专练）（人教A）（高二）山东省淄博市部分学校2023届高三下学期4月阶段性诊断考试数学试题（已下线）四川省巴中市2023届高三“一诊”考试数学（理）试题变式题16-20专题20平面解析几何（解答题）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点3 导数与数学文化（三）湖南省张家界市慈利县第一中学2024届高三上学期第二次月考数学试题（已下线）微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选广东省揭阳华侨高级中学2024届高三下学期第二次阶段（期中）考试数学试题湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期高考适应性练习（一）数学试题湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024届高三下学期5月期中数学试题
名校
解题方法
9 . 剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径
，需要剪去菱形
，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到若
，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长
__________ 
．
，需要剪去菱形，可以经过两次对折、沿裁剪、展开后得到若，要使镂空的菱形面积最大，则菱形的边长．
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2023-03-17更新
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402次组卷
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4卷引用：山东学情2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题A
山东学情2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题A湖北省荆州市公安县第三中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题广东省东莞实验中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点4 导数与数学文化综合训练
10 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间
上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得
成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数
在
上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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2023-02-17更新
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1318次组卷
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14卷引用：山西省忻州市河曲县中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题
山西省忻州市河曲县中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题山西省名校2022-2023学年高二下学期联考数学试题云南省昆明市安宁中学2022-2023学年高二下学期第一次检测数学试题陕西省商洛市2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题广东省佛山市南海区石门中学2022-2023学年高二下学期第一次质量检测数学试题（已下线）第五章 一元函数的导数及其应用（单元综合检测）-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第二册）广东省珠海市第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）模块五 专题2 全真能力模拟（高二人教B）广东省佛山市南海区2022-2023学年高二下学期期中数学试题河北省廊坊市固安县马庄中学等2校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题山东省临沂市郯城第一中学2023-2024学年高二下学期阶段性检测一数学试卷福建省泉州市泉港区第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题吉林省长春市第八中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）核心考点3 导数的应用（恒成立，不等式，零点） A基础卷 （高二期末考试必考的10大核心考点）
