1 . 已知函数．
(1)当时，求在上的零点个数；
(2)求证：当时，对恒成立．

2 . 已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；
(2)当时，求证：．

3 . 已知函数．
(1)当时，判断函数的单调性，并证明；
(2)若对，不等式恒成立，证明：．

4 . 已知函数.
(1)若，，判断函数的单调性；
(2)若，且对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.

5 . 已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)设，若函数有两个不同的极值点，，求证：．

6 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

7 . 已知函数，.
(1)证明：对，；
(2)若关于的方程有两个实根，且，证明：.

8 . 定义在上的函数满足，，则下列说法正确的个数是______.
（1）在处取得极小值，极小值为;
（2）只有一个零;
（3）若在上恒成立，则;
（4）.

9 . 已知函数（，为自然对数的底数）．
(1)若不等式对于一切恒成立，求的最小值；
(2)若对任意的，在上总存在两个不同的，使成立，求的取值范围．

10 . 已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数.