1 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；
(3)若，证明：

2 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)当时，，求的最大值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.

4 . 已知函数.
(1)若函数为增函数，求的取值范围；
(2)已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.

5 . 已知函数，．
(1)求的单调区间；
(2)当时，有两个零点，
①证明：；
②设函数的两个零点，且，证明：．

6 . 已知函数
(1)若1是的极值点，求a的值；
(2)求的单调区间：
(3) 已知有两个解，
（i）直接写出a的取值范围；（无需过程）
（ii）λ为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求λ的取值范围.

7 . 已知函数．
(1)是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；
(2)已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，.
①求证：；
②求证：．

8 . 已知函数.
(1)若时，恒有，求a的取值范围；
(2)证明：当时，.

9 . 已知函数，．
(1)记，当时，求的单调区间．
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求实数a的取值范围；
②证明：．

10 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)设为的极值点，证明：
（i）当时，存在唯一的；
（ii）对于任意，都有.