1 . 已知函数（k为常数），函数，（a为常数，且）.
（1）若函数有且只有1个零点，求k的取值的集合.
（2）当（1）中的k取最大值时，求证：.

2 . 已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

3 . 已知在点处的切线方程为.
（1）求的值及在上的单调区间；
（2）若，且，求证.

4 . 设函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，；
（i）求满足条件的最小正整数的值.
（ii）求证：.

5 . 已知函数（其中为常数）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，设函数的3个极值点为，，证明：．

6 . 设，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，恒成立，求的取值范围；
（3）求证：．

7 . 已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为3.
（1）求实数的值；
（2）若对任意成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：.

8 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式.

9 . 理科已知函数，当时，函数取得极大值.
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

10 . 设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．