1 . 已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.
（i）求证：函数在上具有性质；
（ii）记，其中，求证：.

2 . 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．

3 . （1）证明：当时，；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：若，则对任意正整数，都有.

4 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.

5 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．

(1)证明：当时，；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．
①当时，证明：；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．

6 . 已知函数．
(1)求函数在区间上的极值点的个数．
(2)“”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当时，对，都有；
（ii）．

7 . 已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（       ）

A．如果，则，，使得

B．如果，则，，使得

C．如果，则，，使得

D．如果，，使得，则，，便得

8 . 已知函数，．
(1)若，讨论在上的单调性．
(2)设为方程的实数根，其中，．
（ⅰ）证明：，有；
（ⅱ）若，，证明：．

9 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；
(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．
（参考数据：）

10 . “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上，则称为的镜像函数．
(1)若点，，且N~M，求的坐标；
(2)证明：若为的镜像函数，，则；
(3)已知函数，为的镜像函数．设R~S，且．证明：．