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1 . 在圆内接四边形
中，已知
平分
，且
，则边
的长为__________ .
中，已知平分，且，则边的长为
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解题方法
2 . 已知锐角
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，且
，
(1)求；
(2)若
为
边上的高，过点
分别作边
、
的垂线，垂足分别为
、
，
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）求
的最大值．
中，内角，，的对边分别为，，，若，且，(1)求
；(2)若
为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、，（ⅰ）求证：
；（ⅱ）求
的最大值．
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解题方法
3 . 已知锐角中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
，
，则
的取值范围是________ ．
中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是
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解题方法
4 . 在中，
对应的边分别为
(1)求；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立．若
是内一点，过
作
垂线，垂足分别为
，求
的最小值．
中，对应的边分别为(1)求
；(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式：
，当且仅当时等号成立．若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值．
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5 . 已知锐角三个内角
的对应边分别为
，且
．则下列结论正确的是（ ）
三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（ ）A．的面积最大值为 |
B． 的取值范围为 |
C． 的值可能为3 |
D． 的最小值为 |
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6 . 2023年第5号台风“杜苏芮”强度偏强、影响严重，影响了我国东部14省（区、市）并造成严重灾害损失.中央气象台介绍，“杜苏芮”（DOKSURI）（超强台风级）的中心附近最大风力有17级（58米/秒），七级风圈半径300-450公里，十级风圈半径120-180公里，十二级风圈半径90-120公里.如图为我国东南地区局部某台风风云图．其中，福州市与台北市的直线距离约为240千米，且在平面地图中，其直线距离方向与经线（视为直线）所成角度为60°．若某时存在一台风C，已经运动到另一个地点，且记中心地点为点Q，Q位于台北市西偏南15°方向，福州市位于Q北偏东20°方向.记福州市为点P，台北市为点T，则∠PQT的大小为______ ；若此台风向东北方向以15公里每小时的速度匀速运动，且台风运动过程中，各参数（如运动方向、风速等）视为不变，从台风运动到Q点开始，到福州市受台风C的风圈半径为180公里的十级风圈影响结束为止的总时间约为______ 小时.（结果精确到整数位）（参考数据：
，
，
，
）
，，，）
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7 . 中，
为线段上一点，
，且
，则面积的最小值为______ .
中，为线段上一点，，且，则面积的最小值为
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8 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边
(1)若，
①求；
②若
，设点为的费马点，求
的值；
(2)若
，设点为的费马点，
，求实数
的最小值．
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是三个内角，，的对边(1)若
，①求
；②若
，设点为的费马点，求的值；(2)若
，设点为的费马点，，求实数的最小值．
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9 . 已知的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）A． ，则是锐角三角形 |
B．若 ， ， ，则有两解 |
C．若点满足 ， ， ，则 |
D．若的面积等于2， ，当三条高的乘积取最大值时， 的值为 |
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，
，
，
是
，其中
，
，则动点
