1 . 已知为等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若为递增数列，，设的前项和为，求取最小时的值.

2 . 设数列的前项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的项和.

3 . 已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和．

4 . 已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

5 . 已知函数，，满足：①对任意，都有；②对任意都有.
(1)试证明：为上的严格增函数；
(2)求；
(3)令，，试证明：.

6 . 已知是公比不为的等比数列，，且．

(1)求的通项公式；
(2)设，，证明：．

7 . 已知等差数列前项和为，满足.数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.

8 . 若等差数列的前项和为，数列是等比数列，并且，，，，.

(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

9 . 某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

10 . 已知数列的首项为0，且，数列的首项，且对任意正整数m，n恒有．

(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设，求数列的前n项和；