名校
解题方法
1 . 在无穷数列
中，若对任意的
，都存在
，使得
，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列
中，若对任意的，都存在，使得
，则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列，
，
，求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列
为m阶等差数列，求证：
为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列，又是
阶等差数列，证明：是等比数列．
中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．(1)若数列
为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和；(2)若数列
为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列；(3)若数列
既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列．
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2024-05-31更新
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365次组卷
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3卷引用：贵州省毕节市2024届高三第三次诊断性考试数学试题
2 . 设
，
，
(1)证明：
；
(2)若存在直线
，其与曲线
和
共有3个不同交点
，
，
，求证：
，
，
成等比数列.
，，(1)证明：
；(2)若存在直线
，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.
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3 . 已知函数
和
，它们的图像分别为曲线
和
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明：曲线和有唯一交点；
(3)设直线
与两条曲线
共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为
，求证：成等比数列.
和，它们的图像分别为曲线和.(1)求函数
的单调区间；(2)证明：曲线
和有唯一交点；(3)设直线
与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.
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2022-12-26更新
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578次组卷
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3卷引用：江苏省新海高级中学、宿迁中学两校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题
名校
4 . 已知常数
，设
，
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)是否存在
，且依次成等比数列，使得
、
、
依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：当
时，对任意
，
，都有
．
，设，(1)若
，求函数在处的切线方程；(2)是否存在
，且依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．(3)求证：当
时，对任意，，都有．
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5 . 已知A，B分别为椭圆
的上下顶点，P为直线
上的动点，且P不在椭圆上，
与椭圆E的另一交点为C，
与椭圆E的另一交点为D，（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）.
(1)证明：直线
过定点；
(2)设（1）问中定点为Q，过点C，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，记
，
，
的面积分别为
，
，
，试问：是否存在常数t，使得，
，总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
的上下顶点，P为直线上的动点，且P不在椭圆上，与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，（C，D均不与椭圆E上下顶点重合）.(1)证明：直线
过定点；(2)设（1）问中定点为Q，过点C，D分别作直线
的垂线，垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总为等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
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6 . 已知数列满足
，
是公差为
的等差数列．
(1)求的通项公式．
(2)令
，求数列的前n项和
．
(3)令
，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且
，
，
成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
满足，是公差为的等差数列．(1)求
的通项公式．(2)令
，求数列的前n项和．(3)令
，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
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2024-05-11更新
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259次组卷
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3卷引用：广东省顺德区北滘中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
广东省顺德区北滘中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷广东省佛山市桂城中学2023-2024学年高二下学期第二次段考数学试卷（已下线）专题07 数列通项公式与数列求和--高二期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第三册）
2024高三·全国·专题练习
7 . 已知O为坐标原点，P，Q是双曲线
上的两个动点．
(1)若点P，Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上且
，
，求双曲线E的渐近线方程；
(2)若
，
，
成等比数列，
，证明直线PQ与定圆相切．
上的两个动点．(1)若点P，Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上且
，，求双曲线E的渐近线方程；(2)若
，，成等比数列，，证明直线PQ与定圆相切．
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8 . 已知双曲线
，动直线
与
轴交于点
，且与
交于
两点，
是
的等比中项，
．
(1)若两点位于
轴的同侧，求
取最小值时
的周长；
(2)若
，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．
，动直线与轴交于点，且与交于两点，是的等比中项，．(1)若
两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；(2)若
，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．
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名校
解题方法
9 . 已知数列
，若
为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质P，且
，
，求
的值；
(2)若
，求证：数列具有性质P；
(3)设
，数列
具有性质P，其中
，
，
，若
，求正整数m的取值范围.
，若为等比数列，则称具有性质P.(1)若数列
具有性质P，且，，求的值；(2)若
，求证：数列具有性质P；(3)设
，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围.
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2024-01-15更新
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452次组卷
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6卷引用：上海市北虹高级中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
上海市北虹高级中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题福建省莆田市第二十五中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题（已下线）第4章 数列（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）专题01 数列（九大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高二实验部下学期阶段检测二（6月）数学试题上海市闵行区六校期末联考2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题
解题方法
10 . 已知函数，对于数列
，若
，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
(1)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求
；
(2)已知
为函数的“源数列”，求证：对任意正整数
，均有
；
(3)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.(1)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；(2)已知
为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；(3)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
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