1 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
(3)若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.

5 . 如图，矩形中，，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，.

(1)证明：直线与的交点在椭圆：上；
(2)已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断、、是否成等比数列，请说明理由.

8 . 已知双曲线，动直线与轴交于点，且与交于两点，是的等比中项，．
(1)若两点位于轴的同侧，求取最小值时的周长；
(2)若，且两点位于轴的异侧，证明：为等腰三角形．

9 . 混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.
(1)当时，若满足对，有，求的通项公式；
(2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列；
(3)若，，记，证明：.