1 . 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：．

2 . 已知数列满足：.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.

3 . 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为．

(1)求，，；
(2)写出与的关系，并求出．
(3)求证：

4 . 已知数列的前n项和为，，．
(1)求证：；
(2)若，求数列的前n项和．

5 . 已知数列是等比数列，公比不为1，且．
(1)令，求证：；
(2)记其中，求数列的前项和．

6 . 已知数列的前项和为，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)当时，设，求数列的前项和.

7 . 已知等差数列的前n项和为，，，是各项均为正数的等比数列，，且.
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：.

8 . 已知数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.

9 . 已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是数列的前项和，求证：.

10 . 已知数列为各项非零的等差数列，其前n项和为S_n，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，求证:.