1 . 已知为正项数列的前n项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．

2 . 已知（常数），数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：．

3 . 已知数列为递增等差数列，数列为等比数列，且，，，
(1)求数列与的通项公式：
(2)对任意的正整数，设，求数列的前项和；
(3)求证.

4 . 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
(1)求，，；
(2)设，，求数列的前项和；
(3)设，，数列的前项和为，证明：，

5 . 在正项数列中，，且．
(1)求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．

6 . 已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：

7 . 公比为的等比数列的前项和．
(1)求与的值；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．

8 . 已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求证：．

9 . 已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．

10 . 已知数列的前n项和为，n为正整数，且．

(1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前n项和．