1 . 长方体中，.

(1)过E、B作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.
(2)记（1）中截面为，若与（1）中过点的长方体的三个表面成二面角分别为，求的值.

2 . 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．

(1)纬度是指某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，赤道为纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为，球心为，北纬的纬线所形成的圆设为圆，且是圆的直径，球面被经过球心和点，的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．
(2)如图2，点，在球心为的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当，时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形的面积；若不是，请说明理由．

3 . 如图，圆柱的底面半径为1，侧面积为，，分别是圆柱上、下底面圆的一条直径，且点在下底面的投影点平分圆弧.

(1)若圆柱上下底面的圆周均在球的表面上，求球的表面积；
(2)求四面体的体积.

4 . 如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.

   

(1)求三棱台的体积；
(2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度.

5 . 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为2，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体.

(1)求这个组合体的体积；
(2)若点F为AC的中点，求二面角的余弦值.

6 . 小张要制作一个如图所示的正三棱柱形实木块，假设该三棱柱形实木块的所有棱长之和为.
       
(1)设该三棱柱形实木块的底面边长为，体积为，求关于的函数表达式；
(2)求该三棱柱形实木块体积的最大值.

7 . 如图，在圆柱OP中，AB为底面圆O的一条直径，C为上更靠近A的三等分点，D为上更靠近B的三等分点，C，D位于直径AB的两侧，直线l为平面PAC与平面PBD的交线．

   

(1)证明：．
(2)若，求A到平面PBD的距离．

8 . 某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为和，棱台的高为，中间挖去的圆柱孔的底面半径为.计算时取3.14.

   

(1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
(2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）

9 . 如图，圆柱的侧面积为，高为1，AB为的直径，C，D分别为，上的点，直线CD经过的中点O．

(1)若，证明：；
(2)若直线CD与平面ABC所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．

10 . 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．