1 . 如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体

   

(1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求证：共面；
（ⅱ）求多边形的面积；
(2)求该八面体体积的最大值．

2 . 如图，四面体中，．
   
(1)求证：平面平面；
(2)若，
①若直线与平面所成角为30°，求的值；
②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．

3 . 两条异面直线上分别有定长的两线段，求证四面体的体积为定值．

4 . 如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．

(1)求四面体的体积；
(2)试判断与证明以下两个问题：
① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？

5 . 如图，在正三棱锥中，，点满足，，过点作平面分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且，.

(1)证明：，四边形总是矩形；
(2)若，求四棱锥体积的最大值.

6 . 若非零向量所在直线垂直于平面，则称垂直于平面；垂直于平面的任一非零向量，称为平面的法向量；垂直于平面且长度为1的向量，叫做平面的单位法向量．运用上述概念，试解答下列问题：
(1)直线PA斜交平面于，点在直线PA上，是垂直于平面的单位法向量，试叙述的几何意义．
(2)在长方体中，，求到平面的距离．
(3)在正方体中，、分别为，的中点，且正方体的棱长为2．
①求证：平面平面；
②求三棱锥的体积．

7 . 已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，.

(1)求证：；
(2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离.

8 . 如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为．

(1)求证：平面;
(2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值．

9 . 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，.
   
(1)求证：平面；
(2)若，，求三棱锥的体积.

10 . 在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.

   

(1)求三棱锥的体积;
(2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线.