1 . 如图，椭圆的右准线为，为椭圆上的动点，过点作椭圆的切线（与有且只有一个公共点），与直线交于点.当在短轴端点时，的面积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)若面积为3，求点的坐标.

2 . 如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为．

（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若，求的取值范围．

3 . 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．

4 . 已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．

5 . 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为．

（1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示）
（2）如图，当，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点、，若以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程；
（3）在（1）的条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，当取得最大值时，求的值．（结果用数字表示）

6 . 已知椭圆的右焦点为，短轴长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设S为椭圆的右顶点，过点F的直线与交于M、N两点（均异于S），直线、分别交直线于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点F的直线与交于A、B两点，点C在上，并使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由.

7 . 已知椭圆C∶（a>b>0）.

（1）如图1，若椭圆C的半焦距c=1，且，椭圆与过点（0，1）且斜率为的直线相交于P、Q两点，求的值；
（2）如图2，设A为椭圆C∶（a> b> 0）的长轴的左端点，B为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的左焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ，当椭圆C同时满足下列两个条件∶①；②O到直线AB的距离为；求椭圆长轴长的取值范围.

8 . 已知椭圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为
（1）求的方程.
（2）设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则__________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答).
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过定点.

9 . 已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点，，分别为的左､右顶点.
（1）若，且，求的焦点坐标；
（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；
（3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标.

10 . 已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线：的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于、两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；
（3）由抛物线弧和椭圆弧合成的曲线叫做“抛椭圆”，是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点、落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.